جواب:
وضاحت ملاحظہ کریں …
وضاحت:
اگر # p = q = r # پھر:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
لہذا ان کی کوئی جراثیم عام ہو گی.
یاد رکھیں کہ یہ حالات کی ضرورت نہیں ہے.
مثال کے طور پر، اگر # p = 0 #, #q! = 0 # اور #r! = 0 # پھر:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # جڑ ہے # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # جڑیں ہیں # x = -r / q # اور # x = 0 #
لہذا دو مساوات عام طور پر جڑ ہے، لیکن #p! = q # اور ہمیں ضرورت نہیں ہے # p + q + r = 0 #.
جواب:
نیچے ملاحظہ کریں.
وضاحت:
جیسا کہ # px ^ 2 + qx + r = 0 # اور # qx ^ 2 + rx + p = 0 # عام جڑ ہے، یہ جڑ دو # الفا #. پھر
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # اور # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
اور اس وجہ سے # الفا ^ 2 / (pq-r ^ 2) = الفا / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
اور # الفا = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # اور # الفا ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
ای. # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
یا # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
یا # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
یا # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # اور تقسیم کرتے ہیں # p #
یا # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
ای. # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
اسی طرح # p + q + r = 0 # یا # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
جیسا کہ ملاحظہ کریں # الفا ^ 2 / (pq-r ^ 2) = الفا / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# (الفا ^ 2 + الفا + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
اور اگر # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #ہمارے پاس ہے # الفا ^ 2 + الفا + 1 = 0 # ای. # p = q = r #
