چار کھلاڑیوں کے درمیان 52 کارڈ تقسیم کرنے کے طریقوں کی تعداد تاکہ تین کھلاڑیوں کو 17 کارڈ ہر ایک اور چوتھی کھلاڑی صرف ایک کارڈ کے ساتھ چھوڑ دیا گیا ہے؟

جواب:

# (((52)، (17)) ((35)، (17)) ((18)، (17)) ((1)، (1))) / 6 2.99xx10 ^ 23 # طریقوں

وضاحت:

چلو سب سے پہلے یہ دیکھتے ہیں کہ یہ ایک مجموعی مسئلہ ہے - ہم اس آرڈر کے بارے میں پرواہ نہیں کرتے ہیں جس میں کارڈ نمٹنے ہیں:

#C_ (n، k) = ((n)، (k)) = (n!) / ((k!) (n-k)!) # کے ساتھ # n = "آبادی"، k = "چنتا" #

ایک ایسا طریقہ جسے ہم یہ کرسکتے ہیں یہ دیکھنا ہے کہ پہلے شخص کے لئے، ہم 52 کارڈ 52 سے منتخب کریں گے:

#((52),(17))#

دوسرے شخص کے لئے، ہم باقی 35 کارڈ سے 17 کارڈ اٹھاؤ گے:

#((52),(17))((37),(17))#

اور ہم اگلے کھلاڑی کے لئے ایک ہی کام کر سکتے ہیں:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))#

اور ہم آخری کھلاڑی کے ساتھ ساتھ آخری مدت میں درج کر سکتے ہیں:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))((1),(1))#

اور اب آخری بٹ کے لئے - ہم نے اس کو قائم کیا ہے کہ ایک مخصوص شخص، پھر دوسرا شخص، پھر تیسرے شخص، پھر آخری شخص - جو ٹھیک ہو سکتا ہے لیکن ہم دوسرے شخص کے مقابلے میں مختلف شخص کو مختلف طریقے سے علاج کر رہے ہیں. اور ان دونوں کو تیسرے سے مختلف ہیں، حالانکہ انہیں ان کے ڈرائنگ کے طریقہ کار میں ایک جیسے ہونا لازمی ہے. ہم نے حکم دیا اہم ہے اور حکم ایک اجازت نامہ تصور ہے (اس پر مزید کے لئے ذیل میں ملاحظہ کریں).

ہم یہ نہیں کرنا چاہتے ہیں کہ آرڈر اہم ہو اور اس طرح کے طریقوں کی تعداد میں تقسیم کرنے کی ضرورت ہے جو ہم تین افراد کو منظم کر سکتے ہیں. #3! = 6#

یہ سب دیتا ہے:

# (((52)، (17)) ((35)، (17)) ((18)، (17)) ((1)، (1))) / 6 2.99xx10 ^ 23 # طریقوں

~~~~~

آرڈر پر نوٹ دیکھنے کے لئے ایک چھوٹا سا مثال بیان کریں. آئیے 5 اشیاء لیں اور 3 افراد کے درمیان ان کو تقسیم کریں: 2 لوگ 2 اشیاء ہر ایک حاصل کریں اور آخری شخص باقی اشیاء حاصل کریں. اسی طرح کی حساب سے ہم نے مندرجہ ذیل کیا ہے:

# ((5)، (2)) ((3)، (2)) ((1)، (1)) = 10xx3xx1 = 30 # طریقوں

لیکن اگر ہم اصل میں ان کو شمار کرتے ہیں تو:

A، BC، DE

A، BD، CE

A، BE، CD

بی، اے سی، ڈی

بی، ایڈیشن، عیسوی

بی، ای ای، سی ڈی

C، AB، DE

C، AD، BE

C، AE، BD

D، AB، CE

ڈی، اے سی، بی

D، AE، BC

ای، اے بی، سی ڈی

ای، اے سی، بی ڈی

ای، AD، BC

صرف 15 ہیں. کیوں؟ ہم حساب میں پہلی شخص اور دوسرا شخص بنا دیا (کسی کو 5 سے لینے کے لے جاتا ہے، اگلے 3 سے لینے کے لۓ) اور اسی طرح ہم نے حکم دیا تھا. ان لوگوں کی تعداد میں تقسیم ہونے سے جو برابر ہونا ضروری ہے لیکن حساب میں نہیں ہیں، ہم حکم کو تقسیم کرتے ہیں، یا ان لوگوں کی تعداد جو برابر ہونا چاہیے، لیکن حقیقت میں نہیں. اس صورت میں، یہ نمبر 2 اور اسی ہے #2! = 2#، دینا:

#30/2=15# جو صحیح جواب ہے