فرض کریں کہ امن امن کونسل میں ایم Martians & N Earthlings موجود ہیں. اس بات کو یقینی بنانے کے لئے کہ مارٹینوں نے کانفرنس میں امن قائم رکھے، ہمیں اس بات کو یقینی بنانا چاہیے کہ دو مارٹینوں کے ساتھ مل کر بیٹھے، اس طرح کہ کسی بھی دو مارٹنوں کے درمیان کم از کم ایک زمینی ہے (تفصیل دیکھیں)

جواب:

الف) # (ن! (ن + 1)!) / (((این -1 + 1)!) #

ب) # (این! (ن -1)!) / ((این ایم)!) #

وضاحت:

کچھ اضافی استدلال کے علاوہ، ہم گنتی کے لئے تین عام تکنیک استعمال کریں گے.

سب سے پہلے، ہم اس حقیقت کا استعمال کریں گے کہ اگر وہاں ہیں # n # ایک چیز کرنے کے طریقے اور # م # ایک دوسرے کو کرنے کے طریقے، پھر فرض کرتے ہیں کہ کام خود مختار ہیں (آپ کے لئے کیا کر سکتے ہیں جو آپ نے دوسرے میں کیا تھا اس پر متفق نہیں ہے) # nm # دونوں کرنے کے طریقے. مثال کے طور پر، اگر میں پانچ شرٹ اور پتلون کے تین جوڑوں ہوں، تو وہاں ہیں #3*5=15# تنظیموں میں بنا سکتے ہیں.

دوسرا، ہم اس کا حکم استعمال کرنے کے طریقے استعمال کریں گے # k # چیزیں ہیں #k! #. یہ ہے کیونکہ وہاں ہیں # k # پہلی اعتراض کو منتخب کرنے کے طریقے، اور پھر # k-1 # دوسری، اور اسی طرح اور اس کے بعد منتخب کرنے کے طریقے. اس طرح کل طریقوں کی تعداد ہے #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

آخر میں، ہم اس کو منتخب کرنے کے طریقوں کا استعمال کریں گے # k # ایک سیٹ سے اشیاء # n # چیزیں ہیں # ((ن)، (k)) = (ن!) / (k! (n-k)!) # (کے طور پر واضح ن کا انتخاب کریں). اس فارمولہ پر کس طرح پہنچنے کا ایک سلسلہ یہاں دیا گیا ہے.

الف) اگر ہم ابتدائی طور پر تقسیم نہیں کرتے ہیں تو، وہاں ہیں #m! # مارٹینز اور آرڈر کرنے کے طریقے #n! # زمین پر قبضہ کرنے کے طریقے. آخر میں، ہمیں یہ دیکھنے کی ضرورت ہے کہ مارٹینوں کو کہاں رکھا گیا ہے. جیسا کہ ہر مارٹین کو یا تو ختم ہونے کے بعد یا دو زمینیوں کے درمیان رکھنا ضروری ہے # n + 1 # وہ مقامات جو وہ بیٹھ سکتے ہیں (ہر زمانے کے بائیں طرف، اور دائیں دائیں پر ایک اور). جیسا کہ ہیں # م # مارشلین، اس کا مطلب یہ ہے کہ وہاں موجود ہیں # ((+ 1)، (م)) = ((ن + 1)!) / (م! (ن + 1 میٹر)!) # انہیں رکھنے کے ممکنہ طریقے. اس طرح مجموعی طور پر بیٹھنے کے انتظامات ہیں

# n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

ب) یہ مسئلہ اوپر کی طرح ہے. چیزوں کو آسان بنانے کے لئے، چلو زمین کا انتخاب کرتے ہیں اور اسے صدر کہتے ہیں. کیونکہ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ کسی دائرے کو گھومنے کے بجائے، مطلق حکم کے مطابق بیٹھنے والے انتظامات کے حوالے کرنے کے بجائے، ہم صدر کے ساتھ اپنے تعلقات کے مطابق بیٹنگ کے انتظام پر غور کریں گے.

جیسا کہ اوپر کے طور پر، اگر ہم صدر سے شروع کرتے ہیں اور دائرے کے ارد گرد گھڑی کو جاری رکھیں گے، ہم باقی حاضریوں کو حکم دینے کے طریقوں کو شمار کرسکتے ہیں. جیسا کہ ہیں # م # مارٹن اور # n-1 # باقی ہیں، وہاں ہیں #m! # مارٹینز اور آرڈر کرنے کے طریقے # (این -1)! # باقی Earthlings کے حکم کے طریقوں.

اگلا، ہم بار بار مارٹینوں کی حیثیت کی ضرورت ہے. اس وقت ہمارے آخر میں ایک اضافی جگہ نہیں ہے، اس طرح صرف یہی ہے # n # وہ جگہ بیٹھ سکتے ہیں. پھر وہاں ہیں # ((ن)، (م)) = (ن!) / (م! (ایم ایم)!) # انہیں رکھنے کے طریقے. اس طرح مجموعی طور پر بیٹھنے کے انتظامات ہیں

# (n-1)! ایم! (ن!) / (م! (ن-میٹر)!) = (ن! (ن -1)!) / ((ایم ایم)!) #