جی کو ایک گروہ بننے اور H G.Prove کہ G میں ایک ہی صحیح کاسٹیٹ جو کہ G کی ذیلی ہے خود کو.؟

جی کو ایک گروہ بننے اور H G.Prove کہ G میں ایک ہی صحیح کاسٹیٹ جو کہ G کی ذیلی ہے خود کو.؟
Anonim

جواب:

اس سوال کو (جیسا کہ تبصرے کی طرف سے وضاحت کی گئی ہے) کا فرض ہے:

چلو # جی # ایک گروپ بنیں اور # ایچ لیق جی #. ثابت کرو کہ صرف ایک ہی صحیح کاسٹیٹ # H # اندر # جی # یہ ایک ذیلی گروہ ہے # جی # ہے # H # خود ہی.

وضاحت:

چلو # جی # ایک گروپ بنیں اور # ایچ لیق جی #. ایک عنصر کے لئے #g میں جی #، صحیح کاسٹیٹ # H # اندر # جی # جیسا کہ بیان کیا گیا ہے:

# => Hg = {hg: h in H} #

ہم یہ سمجھتے ہیں #Hg leq G #. پھر شناخت عنصر #e میں ہگ #. تاہم، ہم لازمی طور پر جانتے ہیں کہ #e میں ایچ #.

چونکہ # H # ایک صحیح کاسٹیٹ ہے اور دو دائیں کیکڑے یا تو ایک جیسی یا منحصر ہونا چاہئے، ہم ختم کر سکتے ہیں #H = ہگ #

=================================================

اگر یہ واضح نہیں ہے تو، چلو علامتوں کو ختم کرنے کا ایک ثبوت آزمائیں.

چلو # جی # ایک گروپ بن جاؤ اور دو # H # ایک گروہ بنیں # جی #. ایک عنصر کے لئے # g # سے متعلق # جی #کال کریں # ہگ # صحیح کاسٹیٹ # H # اندر # جی #.

ہمیں یہ سمجھنا کہ صحیح کاسٹیٹ # ہگ # ایک ذیلی گروہ ہے # جی #. پھر شناخت عنصر # e # سے تعلق رکھتا ہے # ہگ #. تاہم، ہم پہلے سے ہی جانتے ہیں کہ شناخت عنصر # e # سے تعلق رکھتا ہے # H #.

دو دائیں کوکیز یا تو ایک ہی جیسی یا منفی ہونا ضروری ہے. چونکہ # H # ایک صحیح کاسٹیٹ ہے، # ہگ # ایک صحیح کاسٹیٹ ہے، اور دونوں پر مشتمل ہے # e #، وہ متفق نہیں ہوسکتے ہیں. لہذا، # H # اور # ہگ # ایک جیسی، یا #H = ہگ #