آپ کو معیاری شکل میں کم از کم ڈگری کا فنکشن کیسے مل سکتا ہے جس میں حقیقی جغرافیائی عناصر جن کے ظہور شامل ہیں -3.4، اور 2-میں؟

جواب:

# پی (ایکس) = ایکق (X + 3) (X-4) (ایکس -2 + i) (X-2-i) # کے ساتھ #aq آر آر #.

وضاحت:

چلو # پی # آپ کے بارے میں بات کر رہے ہیں پالینیوم. میں فرض کر لیتا ہوں #P! = 0 # یا یہ معمولی ہو جائے گا.

پی میں حقیقی جزو ہے، لہذا # پی (الفا) = 0 => پی (بارالفا) = 0 #. اس کا مطلب یہ ہے کہ پی کے لئے ایک اور جڑ ہے، #bar (2-i) = 2 + i #لہذا اس فارم کے لئے # پی #:

# پی (X) = ایک (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (ایک_2) * (ایکس -2 + i) ^ (ایک_3) * (X-2-i) ^ (ایک_4) * ق (X) # کے ساتھ #a_j میں این این #, #Q آر آر میں X # اور #a میں آر آر # کیونکہ ہم چاہتے ہیں # پی # اصلی جغرافیہ

ہم ڈگری چاہتے ہیں # پی # جتنی جلدی ممکن ہو سکے. اگر # ر (ایکس) = ایک (ایکس + 3) ^ (a_1) (ایکس 4) ^ (ایک_2) (ایکس -2 + i) ^ (ایک_3) (ایکس 2-آئی) ^ (ایک_4) # پھر #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = sum (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # تو #deg (Q)> = 0 #. اگر ہم چاہتے ہیں # پی # اس کے بعد، سب سے چھوٹی ڈگری ممکن ہے #deg (ق) = 0 # (# ق # صرف ایک حقیقی نمبر ہے # q #)، لہذا #deg (P) = deg (R) # اور یہاں ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں #P = R #. #deg (P) # اگر ہر ممکن ہو تو ممکنہ طور پر کم ہو جائے گا #a_j = 0 #. تو #deg (P) = 4 #.

تو اب کے لئے، # پی (ایکس) = ایک (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. چلو اس کی ترقی کرتے ہیں.

# پی (X) = ایکق (X ^ 2 - X-12) (X ^ 2-4X + 5) آر آر میں X #. لہذا یہ اظہار بہترین ہے # پی # ہم ان حالات کے ساتھ تلاش کر سکتے ہیں!