ثبوت ہے کہ ن = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) ایک انضمام ہے؟

جواب:

غور کریں # t ^ 3-21t-90 = 0 #

اس میں ایک حقیقی جڑ ہے #6# a.k.a # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 سیکٹر (2)) ^ (1/3) #

وضاحت:

مساوات پر غور کریں:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

اسے حل کرنے کے لئے کارڈانو کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے، چلو #t = u + v #

پھر:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (UV-7) (u + v) -90 = 0 #

اصطلاح میں ختم کرنے کے لئے # (u + v) #رکاوٹ شامل کریں # uv = 7 #

پھر:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

کے ذریعے ضرب # u ^ 3 # اور چراغ میں حاصل کرنے کے لئے دوبارہ ترتیب دیں # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

چوکولی فارمولا کی طرف سے، اس کی جڑیں ہیں:

# u ^ 3 = (90 + -قرٹ (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

# رنگ (سفید) (آپ ^ 3) = 45 + - 1/2 اسقر (8100-1372) #

# رنگ (سفید) (آپ ^ 3) = 45 + - 1/2 اسقر (6728) #

# رنگ (سفید) (آپ ^ 3) = 45 + - 29 سیکرٹری (2) #

چونکہ یہ اصلی ہے اور غصے میں ہمت مند تھا # آپ # اور # v #، ہم ان جڑوں کے لئے استعمال کر سکتے ہیں # u ^ 3 # اور دوسرا # v ^ 3 # اس کی اصلی صفر کو کم کرنے کے لئے # t ^ 3-21t-90 # ہے:

# t_1 = جڑ (3) (45 + 29sqrt (2)) + جڑ (3) (45-29sqrt (2)) #

لیکن ہم تلاش کرتے ہیں:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

تو حقیقی صفر # t ^ 3-21t-90 # ہے #6#

تو # 6 = جڑ (3) (45 + 29 سیکٹر (2)) + جڑ (3) (45-29 سیکق (2)) #

# رنگ (سفید) () #

فوٹوت

کیوبک مساوات کو تلاش کرنے کے لئے، میں نے کارڈانو کے طریقہ کار کا استعمال کیا تھا.

جواب:

#N = 6 #

وضاحت:

بنانا #x = 45 + 29 sqrt (2) # اور #y = 45-29 sqrt (2) # پھر

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x یو) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

تو

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

یا کال کرنا #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # ہمارے پاس ہے

# ز ^ 3-21 ز-90 = 0 #

کے ساتھ # 90 = 2 ایکس ایکس 3 ^ 2 ایکس ایکس 5 # اور #z = 6 # ایک جڑ ہے

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #