سب سے چھوٹا سا مکمل انترجر ایسا ہے جو ن! = ایم سیڈٹ 10 ^ (2016)؟

جواب:

# n = 8075 #

وضاحت:

چلو #v_p (k) # کی کثرت # p # کے ایک عنصر کے طور پر # k #. یہ ہے کہ، #v_p (k) # یہ سب سے بڑا عدد ہے # p ^ (v_p (k)) | k #.

مشاہدات:

• کسی کے لئے #k میں ZZ ^ + # اور # p # وزیراعظم، ہمارے پاس ہے #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (یہ آسانی سے انچارج کی طرف سے ثابت کیا جا سکتا ہے)

• کسی عدد کے لئے #k> 1 #ہمارے پاس ہے # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (یہ بدیہی ہے، جیسا کہ قوتوں کے ضوابط #2# برابر قوتوں کے کثیر قائدین سے کہیں زیادہ ہوتا ہے #5#، اور اسی طرح کے دلائل کا استعمال کرتے ہوئے سخت ثابت ہوسکتا ہے)

• کے لئے #j، k میں ZZ ^ + #ہمارے پاس ہے #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # کسی بھی ڈویژن کے لئے # p # کی # j #.

آگے بڑھ رہا ہے، ہمارا مقصد کم سے کم انضمام تلاش کرنا ہے # n # اس طرح کہ # 10 ^ 2016 | n! #. جیسا کہ # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #، پھر تیسرے مشاہدے کی طرف سے، ہمیں صرف اس بات کی تصدیق ہوتی ہے # 2016 <= v_2 (n!) # اور # 2016 <= v_5 (n!) #. دوسرا مشاہدہ یہ ہے کہ اخری صدی کا مطلب ہے. اس طرح، کم از کم انباج کو تلاش کرنے کے لئے کافی ہے # n # اس طرح کہ # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

تلاش کرنے کے لئے # n # ہم ایک مشاہدہ کریں گے جو ہمیں حساب کرنے کی اجازت دے گی # v_5 (5 ^ k!) #.

درمیان #1# اور # 5 ^ k #، وہاں ہے # 5 ^ k / 5 # کے ملٹی #5#جس میں سے ہر ایک کم از کم شراکت دار ہے #1# رقم پر #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. وہاں بھی ہیں # 5 ^ k / 25 # کے ملٹی #25#، جن میں سے ہر ایک اضافی طور پر حصہ لیتا ہے #1# ابتدائی شماروں کے بعد رقم. ہم اس طریقے سے آگے بڑھ سکتے ہیں جب تک کہ ہم ایک سے زیادہ متعدد تک پہنچیں # 5 ^ k # (کونسا # 5 ^ k # خود)، جس نے حصہ لیا ہے # k # اوقات میں. اس انداز میں رقم کی حساب سے، ہمارے پاس ہے

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (کی) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

اس طرح، ہم اسے تلاش کرتے ہیں # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

آخر میں، ہم تلاش کریں گے # n # اس طرح کہ # v_5 (n!) = 2016 #. اگر ہم حساب دیں گے # v_5 (5 ^ k!) # کئی اقدار کے لئے # k #ہم تلاش کرتے ہیں

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

جیسا کہ #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # کی دو "بلاکس" کی ضرورت ہے #5^5#، دو #5^4#، چار #5^3#، اور تین #5^2#. اس طرح، ہم حاصل کرتے ہیں

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

ایک کمپیوٹر تیزی سے اس کی توثیق کرسکتا ہے #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. اس طرح #10^2016 | 8075!#، اور کے طور پر #5|8075!# ضرب کے ساتھ #2016# اور #5|8075#یہ واضح ہے کہ کوئی کم قیمت کافی نہیں ہوگی.