ایک تقریب کی حد کا کیا مطلب ہے؟

جواب:

بیان #lim_ (x a) f (x) = L # مطلب: جیسا کہ #ایکس# قریب ہو جاتا ہے # a #, #f (x) # قریب ہو جاتا ہے # L #.

وضاحت:

عین مطابق تعریف یہ ہے:

کسی بھی حقیقی تعداد کے لئے #ε>0#، ایک اور حقیقی نمبر موجود ہے #δ>0# اس طرح اگر # 0 <| x-a |<>، پھر # | f (x) -L |<>.

تقریب پر غور کریں #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

اگر ہم گراف بناتے ہیں تو، ایسا لگتا ہے:

ہم یہ نہیں کہہ سکتے کہ قیمت کیا ہے # x = 1 #، لیکن ایسا لگتا ہے #f (x) # نقطہ نظر #2# جیسا کہ #ایکس# نقطہ نظر #1#.

چلو اسے دکھانے کی کوشش کریں #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

سوال یہ ہے کہ، ہم کیسے حاصل کرتے ہیں # 0 <| x-1 |<> کرنے کے لئے # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

ہمیں کچھ قدر کے ساتھ شروع کرنا ہوگا #ε# اور پھر ایک متعلقہ قیمت تلاش کریں #δ#.

چلو شروع کرو

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

دوسری شرط ہے

# | x-1 | <δ #

تعریف بالکل بالکل ٹھیک ہے #δ = ε#.

ہم نے صرف کسی کے لئے دکھایا ہے #ε#، وہاں ایک #δ# تاکہ # | f (x) -2 |<> کب # 0 <| x-1 |<>.

تو ہم نے یہ دکھایا ہے

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #