اس کا حساب کس طرح؟ int_0 ^ 1 لاگ (1-x) / xdx + مثال

جواب:

ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

بدقسمتی سے انضمام کے اندر فنکشن کچھ ایسی چیزوں میں شامل نہیں ہوگی جو ابتدائی افعال کے لحاظ سے اظہار نہیں کیا جا سکتا. آپ کو یہ کرنے کے لئے عددی طریقوں کا استعمال کرنا پڑے گا.

میں آپ کو دکھا سکتا ہوں کہ ایک سلسلہ کی توسیع کا استعمال کیسے کریں تخمینہ قیمت.

جیومیٹری سیریز کے ساتھ شروع کریں:

# 1 / (1-ر) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # کے لئے # rlt1 #

اب احترام کے ساتھ ضم # r # اور حدود کا استعمال کرتے ہوئے #0# اور #ایکس# اسے حاصل کرنے کے لئے:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

بائیں ہاتھ کی ضمنی ضمنی:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

اب اصطلاح کے ذریعہ اصطلاح کو ضم کر دائیں طرف کی طرف ضم کریں:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

تو یہ مندرجہ ذیل ہے:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) =-x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

اب تقسیم کریں #ایکس#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

لہذا اب ہمارے پاس اصل میں شروع ہونے والی تقریب کے لئے پاور سیریز کا اظہار ہے. آخر میں، ہم دوبارہ حاصل کرنے کے لئے دوبارہ ضم کر سکتے ہیں:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

اصطلاح کے ذریعہ دائیں ہاتھ کی اصطلاح کو ضم کرنا ہمیں دیتا ہے:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

چار شرائط پر حدود کا اندازہ ہمیں ایک تخمینہ قیمت دے گا:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / ایکس {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

اب، یہ صرف چار شرائط ہے. اگر آپ زیادہ درست نمبر چاہتے ہیں تو صرف سیریز میں مزید شرائط استعمال کریں. مثال کے طور پر، 100 ویں اصطلاح پر جائیں:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~.63498#

کسی طرح کے طور پر، اگر آپ اسی طرح کے عمل کے ذریعے کام کرتے ہیں لیکن سمنٹیشن نوٹیفکیشن استعمال کرتے ہیں (مثلا سیریز کے شرائط کو لکھنے کے بجائے بڑے سگریج کے ساتھ) آپ اسے ملیں گے:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -umum (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

جس میں صرف 2، رائیمن زٹا کی تقریب ہے.

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -um_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 -zeta (2) #

ہم اصل میں پہلے سے ہی اس کی قیمت جاننے کے لئے جانتے ہیں: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

اس لئے لازمی طور پر انحصار کی صحیح قدر کی جا سکتی ہے:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #