(Z-1) ^ 3 = 8i کے حل کیا ہیں؟

جواب:

#z میں {sqrt (3) + 1 + i، -sqrt (3) + 1 + i، 1-2i} #

وضاحت:

اس مسئلے کے لئے، ہمیں جاننا ہوگا کہ کس طرح تلاش کرنے کے لئے # n ^ "th" # پیچیدہ نمبر کی جڑیں. ایسا کرنے کے لئے، ہم شناخت کا استعمال کریں گے

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

اس شناخت کی وجہ سے، ہم کسی بھی پیچیدہ نمبر کی نمائندگی کرسکتے ہیں

# a + bi = Re ^ (itheta) # کہاں #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # اور #theta = آرکٹان (b / a) #

اب ہم اقدامات تلاش کریں گے # 3 ^ "rd" # پیچیدہ نمبر کی جڑیں # a + bi #. تلاش کرنے کے لئے اقدامات # n ^ "th" # جڑیں اسی طرح ہیں.

دیئے گئے # a + bi = Re ^ (itheta) # ہم تمام پیچیدہ نمبر تلاش کر رہے ہیں # ز # اس طرح کہ

# ز ^ 3 = ری ^ (اسٹیتا) #

جیسا کہ # ز # ایک پیچیدہ نمبر ہے، وہاں موجود ہے # R_0 # اور # theta_0 # اس طرح کہ

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

پھر

# ز ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

اس سے، ہم فوری طور پر ہیں # R_0 = R ^ (1/3) #. ہم بھی اس کے اخراجات کو برابر کر سکتے ہیں # e #لیکن اس بات کا ذکر کرتے ہوئے کہ سائن اور کاسمین مدت کے ساتھ دور میں ہے # 2pi #، پھر اصل شناخت سے، # ای ^ (itheta) # بھی ہو جائے گا. پھر ہمارے پاس ہے

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # کہاں #k میں ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # کہاں #k میں ZZ #

تاہم، جیسا کہ ہم شامل کرتے رہیں گے # 2pi # زیادہ سے زیادہ، ہم اسی اقدار کے ساتھ ختم ہو جائیں گے، ہم پابندی کو مزید بڑھانے سے بے شمار اقدار کو نظر انداز کر سکتے ہیں # theta_0 0، 2pi) میں #، یہ ہے کہ، #k {0، 1، 2} #

یہ سب ایک ساتھ ڈالنا، حل حل ہے

#z میں {R ^ (1/3) ای ^ (اسٹی / 3)، R ^ (1/3) ای ^ (میں ((تھیٹا + 2pi)) / 3)، R ^ (1/3) ای ^ (i (تھیٹا + 4pi) / 3)} #

ہم اسے واپس کر سکتے ہیں # a + bi # اگر فارم شناخت کا استعمال کرتے ہوئے مطلوب ہو

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

ہاتھ پر اوپر کے اوپر اپیل کرنا:

# (Z-1) ^ 3 = 8i #

# => Z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => Z = 2i ^ (1/3) + 1 #

اوپر کے عمل کا استعمال کرتے ہوئے، ہم تلاش کرسکتے ہیں # 3 ^ "rd" # جڑیں #میں#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) میں {ای ^ (آئی پی / 6)، ای ^ (i (5pi) / 6)، ای ^ (i (3pi) / 2) } #

اپنائیں # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # ہمارے پاس ہے

# i ^ (1/3) میں {sqrt (3) / 2 + i / 2، -sqrt (3) / 2 + i / 2، -i} #

آخر میں، ہم ان اقدار کے لئے متبادل کرتے ہیں #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z میں {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1، 2 (-قرآن (3) / 2 + i / 2) +1، 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i، -sqrt (3) + 1 + i، 1-2i} #