جواب:
وضاحت ملاحظہ کریں
وضاحت:
چلو # a = p / q # کہاں # p # اور # q # مثبت اشارے ہیں.
# 1ltp / q # لہذا # qltp #. # p / qlt2 # لہذا # plt2q #. لہذا # qltplt2q #.
# (+ 1 / a = p / q + q / p = (پی پی) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (پی + ق) ^ 2 / (پی ٹی) ایل ٹی (3 ق) ^ 2 / (2 ق ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (پی + ق) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
آگے بڑھنے والے اعلی درجے کی موضوعات
* یہ فرض کرتا ہے کہ جیسا کہ # p # اضافہ، # (p + q) ^ 2 / (pq) # بڑھتی ہوئی یہ گراف کی تلاش کر کے، intuitively تصدیق کی جا سکتی ہے # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # پر #x میں (q، 2q) # مختلف مثبت اقدار کے لئے # q #، یا نیچے کیلوری کے عمل کی طرف سے.
~
# del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
پر #p میں (q، 2q) #:
چونکہ # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # اس طرح # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
چونکہ #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
چونکہ # p ^ 2-q ^ 2gt0 # اور # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
چونکہ # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) # اور # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
لہذا # (p + q) ^ 2 / (pq) # مسلسل کے لئے بڑھ رہا ہے # q # اور # qltplt2q # کیونکہ # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # مثبت ہے.
~~~~
جواب:
تفصیل میں
وضاحت:
یہاں رکاوٹ (1):
# 1 <a <2 #
کانگریس (2):
باہمی پردہ کی طرف سے،
# 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> ایک> 1/2 #
رکاوٹ میں 1 دونوں اطراف پر 1 شامل ہیں،
# 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
# رنگ (سرخ) (ایک + 1 <3) #
اسی رکاوٹ میں 1/2 1/2 شامل کریں
# (1 + 2/2) <(ایک + 1/2) <(2 + 1/2) #
ایک بار پھر یاد رکھیں کہ، #2 <2+1/2#
تو # a + 1/2 # 2 سے کم ہونا لازمی ہے
# رنگ (سرخ) (ایک + 1/2) <2 #
لہذا 2 رکاوٹ میں،
# 1> ایک> 1/2 #
دونوں اطراف پر شامل کریں،
# 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
ہم نے ایسا ہی کیا کیونکہ # a + 1 <3 #
تو # a + 1 / a # 3 سے کم ہونا لازمی ہے.
ایک بار پھر # ایک + 1/2 <2 # لیکن اس کی کمی میں # a + 1 / a> a + 1/2 #
تو، # a + 1 / a # 2 سے زائد ہونا ضروری ہے.
لہذا، # 1> 1 / a> 1 2 #
دونوں طرفوں پر ایک جوڑا،
# 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # ثابت
