اس کا حساب کس طرح شمار کرنا ہے؟ sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

اس کا حساب کس طرح شمار کرنا ہے؟ sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n
Anonim

جواب:

ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

غور کرنا #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

لیکن # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # اور

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # پھر

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

جواب:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # کب # | x | <1 #

وضاحت:

ہم نے کچھ کوکفائٹس کو لکھ کر شروع کر دیا:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ ن n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

پہلی چیز جسے ہم دیکھنا چاہتے ہیں اس کی گنجائش ہے (ڈگری #ایکس# سلسلہ کو ضائع کرنے اور تقسیم کرنے سے آسانی سے ایڈجسٹ کیا جا سکتا ہے #ایکس#، لہذا وہ اہم نہیں ہیں). ہم دیکھتے ہیں کہ وہ سب دونوں کے ملحق ہیں، لہذا ہم دونوں کا ایک عنصر نکال سکتے ہیں:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

اس قطعے کے اندر گہری گنجائشوں کو طاقت کے ساتھ بینومیل سیریز کے طور پر تسلیم کیا جاسکتا ہے # الفا = -3 #:

# (1 + x) ^ الفا = 1 + الفاکس + (الفا (الفا -1)) / (2!) x ^ 2 + (الفا (الفا -1) (الفا -2)) / (3!)) x ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

ہم یہ محسوس کرتے ہیں کہ قطع نظر میں تمام شرائط کے اخراجات صرف ہم نے حاصل کئے جانے والے سلسلے کے مقابلے میں بڑے ہیں، لہذا ہمیں ضرب کرنا ہوگا. # x ^ 2 # صحیح سیریز حاصل کرنے کے لئے:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

اس کا مطلب یہ ہے کہ ہماری سیریز (جب یہ بدلتا ہے) کے برابر ہے:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

اس بات کی تصدیق کرنے کے لئے کہ ہم نے غلطی نہیں کی، ہم تیزی سے بنومیل سیریز کا استعمال کر سکتے ہیں # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) (x) 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …)) #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) x ^ 2- (5!) / ((2 * 3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

ہم اس نمونہ کی وضاحت کر سکتے ہیں جیسے:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn n-1) x ^ n #

چونکہ پہلی مدت صرف ہے #0#، ہم لکھ سکتے ہیں:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

جس کا سلسلہ ہم نے شروع کیا ہے، ہمارے نتائج کی توثیق.

اب ہمیں صرف کنورجیننس وقفہ کو تلاش کرنے کی ضرورت ہے، جب یہ سلسلہ اصل میں ایک قدر ہے. ہم بائنومیلیل سیریز کے لئے متغیر حالات کو دیکھ کر ایسا کر سکتے ہیں اور جب یہ سلسلہ سنبھالتے ہیں # | x | <1 #