ثابت کریں کہ تقریب میں x_0 = 0 میں محدود نہیں ہے؟ + مثال

جواب:

وضاحت ملاحظہ کریں.

وضاحت:

ایک تقریب کی حد کے بارے میں ہیائن کی تعریف کے مطابق ہمارے پاس ہے:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

تو ظاہر کرنے کے لئے کہ ایک فنکشن ہے نہیں حد تک # x_0 # ہمیں دو مراحل تلاش کرنا پڑے گا # {x_n} # اور # {بار (x) _n} # اس طرح کہ

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} بار (x) _n = x_0 #

اور

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (بار (x) _n #

دی گئی مثال میں اس طرح کی ترتیبات ہوسکتی ہیں:

# x_n = 1 / (2 ^ ن) # اور #bar (x) _n = 1 / (3 ^ ن) #

دونوں کے سلسلے میں متفق ہیں # x_0 = 0 #، لیکن تقریب کے فارمولا کے مطابق ہم نے ہیں:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

کیونکہ تمام عناصر # x_n # اندر ہے #1,1/2,1/4,…#

اور کے لئے #bar (x) _n # ہم نے ہیں:

#f (بار (ایکس) _1) = f (1) = 2 #

لیکن سب کے لئے #n> = 2 # ہم نے ہیں: #f (بار (x) _n) = 1 #

اب تک #n -> + oo # ہم نے ہیں:

#lim_ {n -> + oo} f (بار (x) _n) = 1 # (**)

دونوں کے سلسلے میں # x_0 = 0 #، لیکن حدود (*) اور (**) ہیں نہیں برابر، تو حد #lim_ {x-> 0} f (x) # موجود نہیں ہے.

QED

وکیپیڈیا میں حد تعریف کی جا سکتی ہے:

جواب:

یہاں ایک حد کے وجود کی تعریف کی نفی کا استعمال کرتے ہوئے ایک ثبوت ہے.

وضاحت:

مختصر ورژن

#f (x) # ایک نمبر تک نہیں پہنچ سکتا # L # کیونکہ کسی بھی پڑوسی میں #0#، تقریب # f # اقدار پر لیتا ہے جو ایک دوسرے سے مختلف ہوتی ہے #1#.

لہذا کوئی بات نہیں جو کوئی کسی کے لئے تجویز کرتا ہے # L #وہاں پوائنٹس ہیں #ایکس# قریب #0#، کہاں #f (x) # کم از کم ہے #1/2# یونٹ سے دور # L #

طویل ورژن

#lim_ (xrarr0) f (x) # اگر صرف اور صرف موجود ہے

ایک نمبر ہے، # L # اس طرح کے لئے #epsilon> 0 #، وہاں ایک #delta> 0 # اس طرح کہ سب کے لئے #ایکس#, # 0 <abs (x) <ڈیلٹا # کا مطلب ہے #abs (f (x) -L) <epsilon #

اس کا نفاذ یہ ہے:

#lim_ (xrarr0) f (x) # اگر اور اگر صرف موجود نہیں

ہر نمبر کے لئے، # L # ایک نہیں ہے #epsilon> 0 #، اس طرح کہ سب کے لئے #delta> 0 # ایک نہیں ہے #ایکس#، اس طرح کہ # 0 <abs (x) <ڈیلٹا # اور #abs (f (x) -L)> = epsilon #

ایک نمبر کو دیا # L #میں کروں گا #epsilon = 1/2 # (کوئی چھوٹا سا # epsilon # بھی کام کریں گے)

اب ایک مثبت # ڈیلٹا #، مجھے یہ پتہ چلتا ہے کہ ایک ہے #ایکس# کے ساتھ # 0 <absx <delta # اور #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (یاد رکھیں کہ #epsilon = 1/2 #)

مثبت طور پر # ڈیلٹا # آخر میں # 1/2 ^ ن <ڈیلٹا # تو وہاں ہے # x_1 # کے ساتھ #f (x_1) = 2 #.

ایک عنصر بھی ہے # x_2 آر آر - {1، 1/2، 1/4 میں… } # کے ساتھ # 0 <x_2 <ڈیلٹا # اور #f (x_2) = 1 #

اگر #L <= (1/2) #، پھر #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

اگر #L> = (1/2) #، پھر #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #