براہ کرم وضاحت کریں، یہ ایک لکیری تبدیلی ہے یا نہیں؟

جواب:

ذیل میں دیکھیں

وضاحت:

ایک ٹراسفارم #T: V to W # کہا جاتا ہے کہ لکیری ہو تو یہ مندرجہ ذیل دو خصوصیات ہیں:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # ہر ایک کے لئے # v_1، v_2 V میں #
• #T (cv) = ct (v) # ہر ایک کے لئے #v میں V # اور ہر اسکالر # c #

یاد رکھیں کہ دوسری جائیداد یہ سمجھتا ہے کہ # V # رقم اور سکالر ضرب کے دو آپریشنوں کے ساتھ سرایت ہے. ہمارے معاملے میں، رقم polynomials کے درمیان رقم ہے، اور ضرب اصلی تعداد (میں فرض) کے ساتھ ضرب ہے.

جب آپ پالشمی طور پر حاصل کرتے ہیں تو آپ اس کی ڈگری کو کم کرتے ہیں #1#، تو آپ کی ڈگری حاصل کرنے کے ایک پالینی حاصل #4# دو دفعہ، آپ کو ڈگری حاصل کرنے کا موقع ملے گا #2#. یاد رکھیں کہ، جب ہم چار چار ڈگری پالینومیل کے سیٹ پر بات کرتے ہیں تو، ہم اصل میں ڈگری کے تمام polynomials کے سیٹ کا مطلب ہے زیادہ سے زیادہ چار. اصل میں، ایک عام ڈگری چار پالینیوم ہے

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

اگر آپ ڈگری دو پالینیوم چاہتے ہیں # 3 + 6x-5x ^ 2 #مثال کے طور پر، آپ آسانی سے منتخب کریں

# a_0 = 3، a_1 = 6، a_2 = -5، a_3 = a_4 = 0 #

اس کے ساتھ کہا جاتا ہے، چلو ڈگری کی قطعی جگہ کی شناخت کرتے ہیں # n # کے ساتھ # P_n #، اور ہمارے آپریٹر کی وضاحت کریں #T: P_4 پر P_2 # اس طرح کہ #T (f (x)) = f '' (x) #

چلو سب سے پہلی جائیداد کو چلائیں: فرض کریں کہ ہم پالینیومیل ہیں

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

اور

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

اس کا مطلب ہے کہ # p_1 + p_2 # مساوات

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # اس پالشمی کا دوسرا مشتق ہے، لہذا یہ ہے

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(میں حاصل کرنے کے لئے میں نے دو بار طاقتور حکمرانی کا اطلاق کیا: دوسرا مشتق # x ^ n # ہے #n (n-1) x ^ {n-2} #)

اب چلتے ہیں # ٹی (p_1) #، دوسرا دوسرا مشتہر # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

اسی طرح، # ٹی (p_2) #، دوسرا دوسرا مشتہر # p_2 #ہے

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

اگر آپ ان اظہار کو پورا کرتے ہیں، تو آپ دیکھ سکتے ہیں کہ ہمارے پاس ہے

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

دوسری جائیداد اسی طرح کے فیشن میں دکھایا گیا ہے: ایک پولیمومیل

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

ہمارے پاس کوئی حقیقی نمبر ہے # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

اس کا دوسرا مشتق اسی طرح ہے

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

جو دوبارہ دوبارہ کمپیوٹنگ کے طور پر ہے # ٹی (پی) #، اور پھر سب کچھ ضرب # c #، i.e. # ٹی (سی پی) = سی ٹی (پی) #