آپ y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) کے لئے ایٹمپٹیٹس کو کیسے ملتا ہے؟

جواب:

عمودی

# x = 1 #

# x = 3 #

افقی

# x = 1 # (دونوں کیلئے # + - o #)

مستحق ہے

موجود نہیں ہے

وضاحت:

چلو # y = f (x) #

• عمودی عصمتیں

فنکشن کی حدود تلاش کریں کیونکہ ان کے ان ڈومین کی حدود کو انفینٹی کے علاوہ بھی شامل ہے. اگر ان کا نتیجہ انفینٹی ہے، تو اس سے #ایکس# لائن ایک ایسی جمپ ہے. یہاں، ڈومین یہ ہے:

#x میں (-و، 1) یو (1،3) یو (3، + اوو) #

تو 4 ممکن عمودی عصمتیں ہیں:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -)) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

اسسمپٹیٹ # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # عمودی اسلمپٹیٹ کے لئے # x = 1 #

نوٹ: کے لئے # x-1 # چونکہ #ایکس# 1 سے تھوڑا کم ہے، نتیجہ 0 سے تھوڑا سا کم ہو گا، لہذا اس کا نشانہ منفی ہو گا، لہذا نوٹ #0^-# جس میں بعد میں منفی نشان کا ترجمہ ہوتا ہے.

اسسمپٹیٹ کے لئے توثیق # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # تصدیق شدہ

اسسمپٹیٹ # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -و # عمودی اسلمپٹیٹ کے لئے # x = 3 #

اسسمپٹیٹ کے لئے توثیق # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # تصدیق شدہ

• افقی اجمیٹس

دونوں حدود کو ڈھونڈیں جیسے فنکشن میں ہوتا ہے # + - o #

مائنس انفینٹی #x -> - o #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (منسوخ (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (منسوخ (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# افقی ایٹم ٹپوٹ کے لئے # y = 1 #

پلس انفینٹی #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (منسوخ (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (منسوخ (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# افقی ایٹم ٹپوٹ کے لئے # y = 1 #

نوٹ: یہ صرف ایسا ہوتا ہے کہ یہ فنکشن دونوں کے لئے ایک عام افقی ہے # -oo # اور # + oo #. آپ ہمیشہ دونوں کو چیک کرنا چاہئے.

• مسترد asymptotes

آپ کو دونوں حدود کو تلاش کرنا لازمی ہے:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

ہر ایک کے لئے، اگر یہ ایک حقیقی نمبر ہے، تو اس وقت کمپوزٹ موجود ہے اور حد اس کی ڈھال ہے. The # y # ہر ایک کی مداخلت حد ہے:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

تاہم، ہمیں مصیبت کو بچانے کے لئے، آپ اس سے بچنے کے لئے کچھ فنکشن "علم" استعمال کرسکتے ہیں. چونکہ ہم جانتے ہیں #f (x) # دونوں کے لئے افقی ایسومپٹیٹ ہے # + - o # کسی حد تک ہونے کا واحد طریقہ دوسری لائن ہے #x -> + - o #. البتہ، #f (x) # ایک ھے #1-1# فنکشن تو ایسا نہیں ہوسکتا # y # ایک کے لئے اقدار #ایکس#لہذا ایک دوسری سطر ناممکن ہے، لہذا یہ ناممکن ہے کہ عیش و ضبط کو مسترد کرنا.