جواب:
x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1
وضاحت:
یہ باہمی شکل ہے (a + b) ^ 3
ہم اس پراپرٹی کو لاگو کرکے بائنومیل کو بڑھا دیں گے:
(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 .
کہاں بائنومیلیل میں a = x اور ب = y + 1
ہم نے ہیں:
x + (y + 1) ^ 3 =
x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 اس کے طور پر تبصرہ (1)
اوپر کی توسیع میں ہم اب بھی دو بنوومیلز کو بڑھانے کے لئے ہیں
(y + 1) ^ 3 اور (y + 1) ^ 2
کے لئے (y + 1) ^ 3 ہمیں اوپر کیوبڈ پراپرٹی کا استعمال کرنا ہے
تو (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 . اس کے طور پر تبصرہ کریں (2)
کے لئے (y + 1) ^ 2 ہمیں اس رقم کی چوک کا استعمال کرنا ہے جو کہتا ہے:
(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
تو (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 . اس کے طور پر تبصرہ کریں (3)
متبادل (2) اور (3) مساوات میں (1) ہم ہیں:
x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3
= x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1)
= x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1
ہمیں اسی طرح کی شرائط شامل کرنا پڑے گی لیکن اس پالیسی میں ہم اسی طرح کی شرائط نہیں رکھتے ہیں، ہم شرائط بند کرسکتے ہیں.
اس طرح،
x + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1