سیکنڈ (x) + 1 + ((1 ٹین ^ 2 (x)) / (سیکنڈ (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x)) کیسے ثابت ہوتا ہے؟

جواب:

کچھ متعدد ضرب ضبط کرو، ٹری شناختی کا استعمال کریں، اور آسان کریں. ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

پائیگوریان شناخت کو یاد رکھیں # گناہ ^ 2x + کاؤنٹر ^ 2x = 1 #. دونوں اطراف تقسیم کریں # cos ^ 2x #:

# (گناہ ^ 2x + کاس ^ 2x) / کاس ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> ٹین ^ 2x + 1 = سیکنڈ ^ 2x #

ہم اس اہم شناخت کا استعمال کریں گے.

آئیے اس اظہار پر توجہ مرکوز کریں:

# سیکنڈ + 1 #

یاد رکھیں کہ یہ برابر ہے # (سیکنڈ + 1) / 1 #. اوپر اور نیچے سے ضرب کریں # سیکنڈ - 1 # (یہ تکنیک سنجیدگی ضوابط کے طور پر جانا جاتا ہے):

# (سیکسی + 1) / 1 * (سیکسی -1) / (سیکسی -1) #

# -> ((سیکسی + 1) (سیکسی -1)) / (سیکسی -1) #

# -> (سیکنڈ ^ 2x-1) / (سیکسی -1) #

سے # ٹین ^ 2x + 1 = سیکنڈ ^ 2x #ہم اسے دیکھتے ہیں # ٹین ^ 2x = سیکنڈ ^ 2x-1 #. لہذا، ہم نمبر نمبر کو تبدیل کرسکتے ہیں # ٹین ^ 2x #:

# (ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) #

ہماری مسئلہ ابھی پڑھی ہے:

# (ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) + (1 ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) = کاکس / (1-کاکسکس) #

ہمارے پاس ایک مشترک مشترکہ ہے، لہذا ہم بائیں ہاتھ کے حصے میں اضافہ کرسکتے ہیں:

# (ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) + (1 ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) = کاکس / (1-کاکسکس) #

# -> (ٹین ^ 2x + 1-ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) = کوکس / (1-کاکسکس) #

ٹینٹینٹس منسوخ:

# (منسوخ (ٹین ^ 2x) + 1-منسوخ (ٹین ^ 2x)) / (سیکسی -1) = کاکس / (1-کاکسکس) #

ہمارے ساتھ چھوڑ کر:

# 1 / (سیکسی -1) = کاکس / (1-کاکسکس) #

چونکہ # سیکنڈ = 1 / کاسمکس #، ہم اس کو دوبارہ لکھ سکتے ہیں:

# 1 / (1 / کاکسیکس -1) = کاکس / (1-کاکسکس) #

ڈینومٹر میں فرائض شامل کرنا، ہم دیکھتے ہیں:

# 1 / (1 / کاکسیکس -1) = کاکس / (1-کاکسکس) #

# -> 1 / (1 / کاسمیکس- (کاکسکس) / (کاکس)) = کاکس / (1-کاکسکس) #

# -> 1 / ((1-کاکسکس / کاکس) = کاکس / (1-کاکسکس) #

پراپرٹی کا استعمال کرتے ہوئے # 1 / (a / b) = b / a #، ہم نے ہیں:

# کاکس / (1-کاکسکس) = کاکس / (1-کاکس) #

اور یہ ثبوت مکمل کرتا ہے.

# LHS = (سیکسی + 1) + (1 ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) #

# = ((سیکنڈ + 1) (سیکسی -1) + 1 ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) #

# = (سیکنڈ ^ 2x-1 + 1-ٹین ^ 2x) / (سیکسی -1) #

# = کاکس / کاکس * ((سیکنڈ ^ 2x-tan ^ 2x)) ((سیکسی -1)) #

# رنگ (سرخ) ("ڈال"، سیک ^ ^ xx-tan ^ 2x = 1) #

# = کوکسکس / (کاکسیکسیککس- کاکس) #

# رنگ (سرخ) ("ڈال"، cosxsecx = 1) #

# = کاکس / (1-کاکس) = RHS #