(15، -19) پر توجہ مرکوز کے ساتھ پرابولا کی مساوات کیا ہے اور y = -8 کی ایک ڈائرکٹری کیا ہے؟

جواب:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

وضاحت:

کیونکہ ڈائریکٹر ایک افقی لائن ہے، ہم جانتے ہیں کہ پرابولا عمودی طور پر مبنی ہے (یا تو اوپر یا نیچے کھولتا ہے). کیونکہ ڈائی آرڈر (-8) کے نیچے توجہ (-19) کے ہم آہنگی ہم جانتے ہیں کہ پارابولا کھولتا ہے. اس قسم کے پارابولا کے مساوات کی عمودی شکل یہ ہے:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

جہاں بھی عمودی کی ایکس کنکریٹ ہے، اس کے کنارے سے مل کر عمودی سے ملتا ہے، اور فوکل فاصلہ، ایف، ڈائریکٹر سے توجہ مرکوز سے دستخط کئے جانے والے فاصلے کا نصف ہے:

#f = (y _ ("توجہ") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

عمودی، ک، Y کے ہم آہنگی کے ساتھ ساتھ براہ راست ڈائریکٹر کے ہم آہنگی ہے.

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

عمودی، ایچ کے ایکس کوآرٹیٹ، توجہ مرکوز کے ایکس کے طور پر ایک ہی ہے:

#h = -15 #

ان اقدار کو مساوات میں تقسیم کرنا 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

تھوڑا سا آسان بنانے:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

جواب:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

وضاحت:

پارابولا ایک نقطہ نظر کی حیثیت رکھتا ہے، جس سے چلتا ہے کہ اس کی فاصلے سے ایک لائن، ڈائرکٹکس کہا جاتا ہے، اور ایک نقطۂ ، جو توجہ کہا جاتا ہے، برابر ہے.

ہم جانتے ہیں کہ دو پوائنٹس کے درمیان فاصلے # (x_1، y_1) # اور # x_2، y_2) # کی طرف سے دیا جاتا ہے #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # اور

نقطہ نظر کے درمیان فاصلے # (x_1، y_1) # اور لائن # محور + + c = 0 # کی طرف سے ہے # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

اب ایک نقطہ دور # (x، y) # پر توجہ مرکوز پر Parabola پر #(-15,-19)# ہے #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

اور ڈائریکٹر سے اس کی فاصلے # y = -8 # یا # y + 8 = 0 # ہے # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

لہذا، پارابولا کا مساوات ہو گا

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # یا

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # یا

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # یا

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

گراف {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5، 23.5، -35.28، 4.72}