دکھائیں کہ یکسپوسوڈ محور ^ 2 + ^ 2 2 + cz ^ 2 = 1 کی طرف سے ایک باہمی مرکز ہے ellipsoid کے طور پر تین باہمی پادری ٹنگنٹ ہوائی جہاز کی چوک کے نقطہ نظر کی طرف سے پتہ چلا.

جواب:

ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

کالنگ # E-> f (x، y، z) = ax ^ 2 + ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

اگر #p_i = (x_i، y_i، z_i) ای # پھر

# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # ایک جہاز طے شدہ ہے # ای # کیونکہ ایک عام نقطہ اور ہے #vec n_i = (ax_i، by_i، cz_i) # معمول ہے # ای #

چلو # Pi-> الفا ایکس + بیٹا Y + گاما ز = ڈیلٹا # ایک عام ہوائی جہاز ٹینجنٹ بنیں # ای # پھر

# {((x_i = الفا / (ڈیلٹا)، (y_i = beta / (bdelta))، (z_i = gamma / (c delta):} #

لیکن

# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # تو

# الفا ^ 2 / a + بیٹا ^ 2 / b + گاما ^ 2 / c = ڈیلٹا ^ 2 # اور عام ٹینجنٹ طیارے مساوات ہے

#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (الفا ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #

اب تین آرتھوگونل طیاروں کو دیا

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

اور بلا رہا ہے #vec v_i = (alpha_i، beta_i، gamma_i) # اور بنا

# وی = ((vc v_1)، (vc v_2)، (vc v_3)) # ہم منتخب کر سکتے ہیں

# وی cdot V ^ T = I_3 #

اور ایک نتیجہ کے طور پر

# V ^ Tcdot V = I_3 #

پھر ہم بھی

((سمی الفا_ی ^ 2 = 1)، (سمی بیٹا_ ^ 2 = 1)، (سمی گاما_ ^ ^ = 1)، (سمی الفا_ی بیٹا_ی 0 0)، (سمی الفا_ی گاما_ = 0)، (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #

اب شامل #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # ہمارے پاس ہے

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + sum (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #

اور آخر میں

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

لیکن #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

تو

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

جس کا راستہ یہ ہے کہ تین باہمی معدنی ٹنگنٹ طیارے کے یلپسوسوڈ کے وقفے کے نتیجے میں.

ellipsoid کے لئے ایک پلاٹ منسلک

# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #