ایک لکیری / خلاصہ الجبرا نقطہ نظر سے، ابیلین گروپ کیا ہے؟

جواب:

ایک ابیلین گروپ ایک گروہ ہے جس میں گروپ آپریشن کے اضافی جائیداد کے ساتھ کام کرنے والا ہے.

وضاحت:

A گروپ # <جی، •> # ایک سیٹ ہے # جی # بائنری آپریشن کے ساتھ مل کر # •: GxxG-> G # جو مندرجہ ذیل شرائط کو پورا کرتی ہے.

1. # جی # ہے بند نیچے #•#.

   کسی کے لئے # a، binG #ہمارے پاس ہے # ایک • بی # جی میں

2. #•# ہے ایسوسی ایٹ.

   کسی کے لئے # A، B، CinG #ہمارے پاس ہے # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # جی # ایک پر مشتمل ہے شناخت عنصر

   وہاں موجود ہے # einG # اس طرح کہ سب کے لئے # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. ہر عنصر # جی # ایک ہے انور اندر # جی #

   سب کے لیے # ainG # وہاں موجود ہے #a ^ (- 1) InG # اس طرح کہ # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

ایک گروپ کہا جاتا ہے ابیلین اگر اس میں بھی جائیداد ہے #•# یہ ہے، یہ سب کے لئے ہے # a، binG #ہمارے پاس ہے # a • b = b • a #.

جماعت # <ZZ، +> # (معیاری اضافے کے ساتھ اندرونی) ایک ابیلین گروپ ہے، کیونکہ یہ اوپر کی پانچ شرطیں پورا کرتی ہیں.

جماعت # GL_2 (آر آر) # (ناقابل یقین کا سیٹ # 2 "x" 2 # اصل عناصر کے ساتھ ملٹریس کے ساتھ ساتھ میٹرکس ضوابط) غیر ابیلینئن ہے، جبکہ یہ پہلی چار حالتوں کو پورا کرتی ہے، انڈربل میٹریٹس کے درمیان میٹرکس ضرب لازمی طور پر commutative نہیں ہے. مثال کے طور پر:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

لیکن

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#