آسان بنانے S_ (k + 1) مکمل طور پر. شکریہ؟!!

جواب:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

وضاحت:

ہم صرف متبادل نہیں کر سکتے ہیں # x = k + 1 # فارمولا میں، یا میں یہاں کچھ یاد کر رہا ہوں؟

ترتیب یہ ہے:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

تو، اگر ہم حساب کرنا چاہتے ہیں # S_k #، ہم نے صرف ڈال دیا # n = k #، اور حاصل

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

کی صورت میں #S_ (k + 1) #، مجھے لگتا ہے کہ ہم صرف متبادل کرسکتے ہیں # n = k + 1 #، اور ہم جا رہے ہیں

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

اگر ہم اس کا توسیع کرنا چاہتے ہیں تو یہ ہو جاتا ہے

# (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (k ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (k ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (k ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = k ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = k ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

جواب:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

وضاحت:

#S_n: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

بیان ن = کے لئے درست ہو،

#S_k: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

ہمیں تصدیق کرنے دو

n = k + 1، پھر

# S_n = S_ (k + 1) #

# n + 1 = k + 2 #

# n + 2 = k + 3 #

# "فوری طور پر اصطلاح ہونے کے ساتھ" (k + 1) (k + 2) #

# (n (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

اس طرح،

# +_ (k + 1): 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (k (k + 1) (k + 2)) / 3+ (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3 (k (k + 1) (k + 2) +3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

تصدیق شدہ.

اس طرح

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #