اگر آپ کسی مردہ کو رول کرتے ہیں، تو ہر نمبر کو ایک بار رول کرنے کی متوقع تعداد کیا ہے؟

جواب:

# 14.7 "رول" #

وضاحت:

#P "تمام نمبروں کو پھینک دیا" = 1 - پی "1،2،3،4،5، یا 6 نہیں پھینک دیا" #

#P "A یا B یا C یا D یا E یا F" = P A + P B + … + P F - #

#P A اور B - P A اور C …. + P A اور B اور C + … #

# "یہاں یہ ہے" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ ن - 15 * (4/6) ^ ن + 20 * (3/6) ^ ن - 15 * (2/6) ^ ن + 6 * (1/6) ^ n #

# پی = P_1 (ن) - P_1 (این -1) #

# = 6 * (5/6) ^ (این -1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (این -1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (ن -1) + 5 * (4/6) ^ (ن -1) -10 * (3/6) ^ (ن -1) + 10 * (2/6) ^ (ن -1) -5 * (1/6) ^ (این -1 1) #

# "اس کا منفی ہماری املاک ہے" #

#sum n * a ^ (n-1) = sum (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) sum a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => ای ن = sum n * P "تمام نمبروں کو پھینکنے کے بعد پھینک دیا گیا ہے" #

# = رقم ن * ((5/6) ^ (این -1) - 5 * (4/6) ^ (این -1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "ہمیں ایک شرط شروع کرنا پڑتا ہے کیونکہ P_1 (0) شرط کی وجہ سے" #

# "ن = 1 کے لئے ایک غلط قیمت P = 1 فراہم کرتا ہے. #

# => پی = 15.7 - 1 = 14.7 #

جواب:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

وضاحت:

چھ منی کھیل کی طرح اس کے بارے میں سوچو. ہر کھیل کے لئے، ہم مرتے ہیں جب تک ہم ایسے نمبر کو رول نہ دیں جو ابھی تک نہیں پہنچایا جاسکتا ہے. ہم "جیت" کہتے ہیں. پھر ہم اگلے کھیل شروع کرتے ہیں.

چلو #ایکس# ہر نمبر کو کم از کم ایک بار (یعنی تمام 6 منی کھیلوں کو جیتنے کے لئے) رول کرنے کی ضرورت ہے، اور جانے دو # X_i # منی گیم نمبر جیتنے کے لئے ضروری رول کی تعداد ہو #میں# (کے لئے #میں# 1 سے 6 تک). پھر ہر ایک # X_i # تقسیم کے ساتھ ایک جیومیٹک بے ترتیب متغیر ہے # "جیو" (p_i) #.

ہر جیومیٹرک بے ترتیب متغیر متغیر قدر ہے # 1 / p_i #.

پہلا کھیل کے لئے، # p_1 = 6/6 # چونکہ تمام 6 نتائج "نئے" ہیں. اس طرح، # "ای" (X_1) = 6/6 = 1 #.

دوسرے کھیل کے لئے، 6 نتائج میں سے پانچ نئے ہیں، تو # p_2 = 5/6 #. اس طرح، # "ای" (X_2) = 6/5 = 1.2 #.

تیسرے کھیل کے لئے، 6 ممکنہ رول میں سے 4 نئے ہیں، تو # p_3 = 4/6 #مطلب ہے # "ای" (X_3) = 6/4 = 1.5 #.

اس موقع پر، ہم ایک پیٹرن دیکھ سکتے ہیں. چونکہ ہر نئے کھیل کے لئے "جیتنے والے" رولز کی تعداد میں کمی کی تعداد کم ہے، ہر کھیل "جیتنے" کی امکانات سے نیچے آتی ہے. #6/6# کرنے کے لئے #5/6#، پھر #4/6#، وغیرہ، مطلب ہے فی فی رولز کی متوقع تعداد سے جاتا ہے #6/6# کرنے کے لئے #6/5#، کرنے کے لئے #6/4#، اور اسی طرح، آخری کھیل تک، جہاں ہم امید کرتے ہیں کہ وہ آخری نمبر حاصل کرنے کیلئے 6 رول لیں.

اس طرح:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

# رنگ (سفید) ("ای" (X)) = "ای" (X_1) + "ای" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

# رنگ (سفید) ("ای" (ایکس)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

# رنگ (سفید) ("ای" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

# رنگ (سفید) ("ای" (ایکس)) = 14.7 #