کیا ہے sqrt21 حقیقی نمبر، عقلی نمبر، مکمل نمبر، انٹری، غیر معمولی نمبر؟

جواب:

یہ ایک غیر معمولی نمبر اور اس وجہ سے حقیقی ہے.

وضاحت:

ہمیں سب سے پہلے ثابت کرنے دو #sqrt (21) # اصل نمبر ہے، اصل میں، تمام مثبت اصلی نمبروں کا مربع جڑ حقیقی ہے. اگر #ایکس# ایک حقیقی نمبر ہے، پھر ہم مثبت تعداد کے لئے وضاحت کرتے ہیں #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. اس کا مطلب یہ ہے کہ ہم تمام حقیقی تعداد کو دیکھتے ہیں # y # اس طرح کہ # y ^ 2 <= x # اور ان سب سے زیادہ بڑی تعداد میں بڑی تعداد میں لے لو # y #، نام نہاد supremum. منفی نمبروں کے لئے، یہ # y #موجود نہیں ہے، کیونکہ اس کے تمام نمبروں کے اس مربع کو ایک مثبت نمبر میں پایا جاتا ہے، اور تمام مثبت تعداد منفی نمبروں سے زیادہ بڑی ہیں.

تمام مثبت تعداد کے لئے، ہمیشہ کچھ ہے # y # اس حالت میں فٹ بیٹھتا ہے # y ^ 2 <= x #یعنی #0#. مزید برآں، ان نمبروں پر، یعنی بالکمل ہے # x + 1 #، اگر سے # 0 <= y <1 #، پھر # x + 1> y #، اگر #y> = 1 #، پھر #y <= y ^ 2 <= x #، تو # x + 1> y #. ہم یہ ظاہر کرسکتے ہیں کہ ہر ایک کی تعداد میں باطل تعداد میں حقیقی نمبروں کی تعداد میں موجود ہے، ہمیشہ ایک منفرد حقیقی نمبر ہے جو ناممکن طور پر مکمل طور پر کام کرتا ہے. # آر آر #. لہذا تمام مثبت حقیقی تعداد کے لئے #ایکس# وہاں ایک حقیقی ہے #sqrt (x) #. ہم اس معاملے میں بھی دکھا سکتے ہیں #sqrt (x) ^ 2 = x #لیکن جب تک تم مجھے نہیں چاہتے ہو، میں یہ یہاں ثابت نہیں کروں گا. آخر میں ہم اسے یاد کرتے ہیں #sqrt (x)> = 0 #، کے بعد سے #0# ایسی بات ہے جو شرط سے پہلے فٹ بیٹھے ہیں.

اب غیر معقولیت کے لئے #sqrt (21) #. اگر یہ غیر منطقی نہیں تھا (تو منطق)، ہم اسے لکھ سکتے ہیں #sqrt (21) = a / b # کے ساتھ # a # اور # ب # پوری تعداد اور # a / b # جتنی جلدی ممکن ہو آسان، مطلب یہ ہے کہ # a # اور # ب # اس کے علاوہ، کوئی عام ڈویژن نہیں ہے #1#. اب اس کا مطلب ہے # 21 = ایک ^ 2 / بی ^ 2 #.

اب ہم کچھ قدرتی استعمال کرتے ہیں جو قدرتی نمبروں کے اہم عنصر کو کہتے ہیں. اس کا مطلب یہ ہے کہ ہم ہر مثبت تعداد کو ایک بڑی تعداد میں اہم نمبر کے طور پر لکھ سکتے ہیں. کے لئے #21# یہ وہ جگہ ہے #3*7# اور کے لئے # a # اور # ب # یہ پرائمریوں کی کچھ صوابدیدی مصنوعات ہے # a = a_1 * … * a_n # اور # ب = B_1 * … * b_m #. یہ حقیقت یہ ہے کہ صرف ایک ہی واحد ڈویژن # a # اور # ب # ہے #1# حقیقت یہ ہے کہ # a # اور # ب # ان کے عنصر میں کسی پرائمری کا اشتراک نہ کریں، لہذا وہاں موجود ہیں # a_i # اور # b_j # اس طرح کہ # a_i = b_j #. اس کا مطلب ہے کہ # a ^ 2 # اور # بی ^ 2 # اس کے بعد سے، کسی بھی primes کا اشتراک نہیں کرتے ہیں # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # اور # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #لہذا، صرف ایک ہی واحد ڈویژن # a ^ 2 # اور # بی ^ 2 # ہے #1#. چونکہ # a ^ 2 = 21b ^ 2 #، مطلب کہ # ب ^ 2 = 1 #، تو # ب = 1 #. لہذا #sqrt (21) = a #. یاد رکھیں کہ یہ صرف اس تصور کے تحت ہے #sqrt (21) # عقلی ہے.

اب ہم اس سے کم از کم تمام سارے مثبت نمبروں سے چل سکتے ہیں #21# اور چیک کریں کہ اگر ان کو گرا دیا جائے تو #21#، لیکن یہ ایک بورنگ کا طریقہ ہے. اسے مزید دلچسپ طریقے سے کرنے کے لئے، ہم دوبارہ اپنے پرائمریوں کو تبدیل کر دیں گے. ہم جانتے ہیں کہ # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # اور #21=3*7#، تو # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. بائیں طرف، ہر ایک اعظم صرف ایک بار ہوتا ہے، دائیں ہاتھ پر، ہر ایک اعظم کم سے کم دو بار ہوتا ہے، اور ہمیشہ ایک بار بھی (اگر # a_1 = a_n # یہ کم از کم چار بار واقع ہوتا ہے). لیکن جیسا کہ ہم نے کہا ہے، یہ اہم فیکٹریاں منفرد ہیں، لہذا یہ صحیح نہیں ہوسکتا. لہذا # 21 این اے ^ 2 #، تو #anesqrt (21) #، مطلب یہ ہے کہ ہمارے پہلے تصور #sqrt (21) # لہذا غلط ثابت ہونے کے لئے عقلی موڑ رہا ہے #sqrt (21) # غیر معقول ہے.

یاد رکھو کہ اسی دلیل کسی بھی مثبت تعداد کے لئے رکھتا ہے #ایکس# ایک اہم عنصر کے ساتھ جہاں ایک پرائمری ایک غیر معمولی تعداد سے زیادہ ہوتا ہے، کیونکہ پوری تعداد کے مربع میں ہمیشہ اس کے تمام اہم عوامل ہیں جو کبھی بھی وقت سے اپیل کرتی ہیں. اس سے ہم یہ سمجھتے ہیں کہ اگر #ایکس# ایک مثبت تعداد ہے (#x inNN #) ایک اہم عنصر ہے جو صرف اوقات کی ایک ناگزیر رقم ہوتی ہے، #sqrt (x) # غیر معمولی ہو جائے گا.

مجھے معلوم ہے کہ یہ ثبوت تھوڑا سا لگ سکتا ہے، لیکن یہ ریاضی کے اہم تصورات کا استعمال کرتا ہے. شاید کسی بھی ہائی اسکول کے نصاب میں، یہ قسم کی دلیلیں شامل نہیں ہیں (میں 100٪ یقین نہیں رکھتا ہوں، میں دنیا کے ہر اعلی ہائی اسکول کے نصاب کو نہیں جانتا)، لیکن اصل ریاضی دانوں کے لئے، ثابت ہوتا ہے کہ چیزیں ایک میں سے ایک ہے وہ سب سے اہم سرگرمیاں کرتے ہیں. لہذا میں آپ کو ظاہر کرنا چاہتا تھا کہ چیزوں کے مربع جڑ کو پیچھے رکھنے کے بعد کتنے ریاضی ہیں. آپ کو اس سے دور کرنے کی کیا ضرورت ہے، واقعی یہ ہے #sqrt (21) # ایک غیر معمولی نمبر ہے.