Int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx کیا ہے؟

جواب:

#= 1/4#

وضاحت:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ ای #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ ای = 1/4 #

جواب:

#1/4#

وضاحت:

یہ کئی طریقے سے کر سکتے ہیں، یہاں دو ہیں. سب سے پہلے ایک متبادل کا استعمال کرنا ہے:

# رنگ (سرخ) ("طریقہ 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

چلو #u = ln (x) دو دو ((dx) / x # کا مطلب ہے

حدود کو تبدیل کرنا:

#u = ln (x) آپ کا مطلب ہے: 0 rarr 1 #

انٹیگریٹ بن جاتا ہے:

# 1 / 2int_0 ^ 1 یو دو = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

یہ آسان طریقہ ہے، لیکن شاید آپ ہمیشہ ایک متبادل نہیں بن سکتے. ایک متبادل حصوں کی طرف سے انضمام ہے.

# رنگ (سرخ) ("طریقہ 2") #

حصوں کی طرف سے انضمام کا استعمال کریں:

افعال کے لئے #u (x)، v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) آپ کو (x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) کا مطلب V (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

شرائط کی طرح گروپ:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + c #

# اس وجہ سے int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

اگرچہ ہم ایک مخصوص اجتماعی کام کے ساتھ کام کر رہے ہیں، لہذا درخواست دینے کی حدود اور مسلسل ہٹانے:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1، ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #