اس پاور سیریز کے لئے ریڈیو کنورجینس کیا ہے؟ ایل این (1-Z) = - ز - 1/2 ز ^ 2 - 1/3 ز ^ 3 ...

اس پاور سیریز کے لئے ریڈیو کنورجینس کیا ہے؟ ایل این (1-Z) = - ز - 1/2 ز ^ 2 - 1/3 ز ^ 3 ...
Anonim

جواب:

#abs z <1 #

وضاحت:

# d / (dz) (Z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo -1) ^ kz ^ k #

لیکن

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. اب غور #abs z <1 # ہمارے پاس ہے

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # اور

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

اب متبادل بنانا #z -> - Z # ہمارے پاس ہے

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

لہذا یہ متفق ہے #abs z <1 #