فرض کریں کہ ایکس ایک مسلسل بے ترتیب متغیر متغیر ہے جس کی امکان کثافت کی تقریب کی طرف سے دی گئی ہے: f (x) = k (2x-x ^ 2) 0 <x <2؛ 0 تمام ایکس کے لئے. K، P (X> 1)، E (X) اور Var (X) کی قدر کیا ہے؟

جواب:

# k = 3/4 #

#P (x> 1) = 1/2 #

# ای (ایکس) = 1 #

# وی (X) = 1/5 #

وضاحت:

تلاش کرنے کے لئے # k # ، ہم استعمال کرتے ہیں # int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#k (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3k = 1 ##=>## k = 3/4 #

حل کرنا # پی (x> 1) # ، ہم استعمال کرتے ہیں #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

حل کرنا #سابق)#

# ای (X) = int_0 ^ 2xf (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2-x ^ 3) dx #

# = 3/4 2x ^ 3/3-x ^ 4/4 _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3-16 / 4) = 3/4 * 16/12 = 1 #

حل کرنا # وی (ایکس) #

# وی (ایکس) = ای (ایکس ^ 2) - (ای (ایکس)) ^ 2 = ای (ایکس ^ 2) -1 #

# ای (X ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 3-x ^ 4) dx #

# = 3/4 2x ^ 4/4-x ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. وی (ایکس) = 6 / 5-1 = 1/5 #