کی قیمت کیا ہے؟ lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x گناہ ٹی ^ 2. ڈیٹ) / گناہ x ^ 2

جواب:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

وضاحت:

ہم چاہتے ہیں:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

اعداد و شمار اور 2 ڈومینٹر دونوں #rarr 0 # جیسا کہ #x rarr 0 #. اس طرح حد # L # (اگر یہ موجود ہے) ایک غیر معمولی شکل کا ہے #0/0#، اور اس کے نتیجے میں، ہم حاصل کرنے کے لئے L'Hôpital کی حکمران کو درخواست دے سکتے ہیں:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (ایکس rarr 0) (d / dx int_0 ^ x گناہ (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

اب، حساب کے بنیادی پریمی کا استعمال کرتے ہوئے:

# d / dx int_0 ^ x گناہ (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

اور،

# d / dx گناہ (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

اور تو:

# L = lim_ (x rarr 0) گناہ (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

پھر یہ ایک غیر معمولی شکل میں سے ہے #0/0#، اور اس کے نتیجے میں، ہم حاصل کرنے کے لئے دوبارہ دوبارہ 'ہپٹلالا' کا اصول ادا کر سکتے ہیں:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (ایکس rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

کون سا، ہم اندازہ کر سکتے ہیں:

# L = (0) / (2-0) = 0 #