F (x، y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) کی انتہا پسندی اور سیڈل پوائنٹس کیا ہیں؟

جواب:

# {: ("نیوزی لینڈ"، "اختتام")، ((0،0،0)، "سڈل"):} #

وضاحت:

کی انتہا کی شناخت کرنے کے اصول # ز = f (x، y) # ہے:

1. ایک ساتھ ساتھ نازک مساوات کو حل کریں

   # (جزوی ف) / (جزوی X) = (جزوی ف) / (جزوی Y) = 0 # (یعنی # f_x = f_y = 0 #)

2. اندازہ #f_ (x x)، f_ (yy) اور f_ (xy) (= f_ (yx)) # ان میں سے ہر ایک اہم نکات پر. اس طرح کا اندازہ # ڈیلٹا = f_ (ایکس ایکس) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # ان پوائنٹس میں سے ہر ایک پر
3. الٹرا کی نوعیت کا تعین؛

   # {: (ڈیلٹا> 0، "کم از کم اگر" f_ (xx) <0)، (، "اور" زیادہ سے زیادہ اگر "f_ (yy)> 0)، (ڈیلٹا <0،" وہاں ایک قدیم نقطہ ہے ")، (ڈیلٹا = 0، "مزید تجزیہ ضروری ہے"):} #

تو ہم نے ہیں:

# f (x، y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

ہمیں پہلے جزوی ڈیوئٹیوٹس کو تلاش کرنے دو

# (جزوی ف) / (جزوی X) = آپ ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-ی) (ای ^ (x ^ 2))} #

# = آپ ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (جزوی ف) / (جزوی Y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

لہذا ہمارے نازک مساوات ہیں:

# آپ ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - ای ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - ای ^ (x ^ 2)) = 0 #

ان مساوات سے ہم نے ہیں:

# y = 0 # یا # ای ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # یا # ای ^ (y ^ 2) - ای ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

اور صرف ایک ہی حل ہے # x = y = 0 #

اور ہمارے پاس ہے ایک اصل میں اہم نقطہ نظر

لہذا، اب ہم دوسری جزوی ڈسیوٹیوٹک کو دیکھتے ہیں تاکہ ہم اہم نقطہ نظر کی نوعیت کا تعین کرسکیں (میں صرف ان نتائج کا حوالہ دونگا):

# (جزوی ^ 2f) / (جزوی X ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (جزوی ^ 2f) / (جزوی y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (جزوی ^ 2f) / (جزوی ایکس جزوی ی) = ای ^ (ی ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (جزوی ^ 2f) / (جزوی ی جزوی ایکس)) #

اور ہمیں حساب کرنا ضروری ہے:

# Delta = (جزوی ^ 2f) / (جزوی X ^ 2) (جزوی ^ 2f) / (جزوی Y ^ 2) - ((جزوی طور پر ^ 2f) / (جزوی X جزوی Y)) 2 #

ہر اہم نقطہ نظر میں. دوسرا جزوی مشترک اقدار، # ڈیلٹا #اور نتیجہ یہ ہے کہ:

# (: "نقطہ نظر"، (جزوی ^ 2f) / (جزوی x ^ 2)، (جزوی ^ 2f) / (جزوی Y ^ 2)، (جزوی ^ 2f) / (جزوی ایکس جزوی Y)، ڈیلٹا، "اختتام")، ((0،0،0)، 0،0،0، = 0، "اندرونی"):} #

اس کے بعد کام کرنے کے بعد یہ سب سے جامع نتیجہ حاصل کرنے کے لئے مایوس کن ہے، لیکن اگر ہم نازک نقطہ نظر کے ارد گرد رویے کی جانچ پڑتال کریں تو ہم آسانی سے قائم کرسکتے ہیں کہ یہ ایک سیڈل نقطہ ہے.

ہم ان اہم نکات کو دیکھ سکتے ہیں اگر ہم ایک 3D پلاٹ دیکھیں گے: