برائے مہربانی یہ حل کریں؟ کون سا اختیار درست ہے؟

برائے مہربانی یہ حل کریں؟ کون سا اختیار درست ہے؟
Anonim

یہ بنیادی طور پر ابتدائی وسائل کی طرف سے ممکن نہیں ہے کے طور پر دیکھا جاتا ہے، لہذا میں نے صرف یہ تعداد میں حل اور مل گیا:

میں نے انکل کا جائزہ لیا #n = 1، 1.5، 2،… ، 9.5، 10، 25، 50، 75، 100 #. اس کے بعد یہ واضح طور پر پہنچ رہا تھا #0.5#.

جواب:

ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

یا

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

اب فرض کیا گیا ہے کہ جوابات میں سے ایک سچا ہے، سب سے زیادہ قدرتی چوتھا 4 لگتا ہے)

نوٹ

کے لئے #x میں 0،1 #

# 1/2 LE 1 / (1 + x ^ 2) لی 1 #

جواب:

#1/2#

وضاحت:

جیسا کہ پہلے ہی گزشتہ حل میں دکھایا گیا ہے،

#I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

موجود ہے اور بمباری ہے:

# 1/2 LE I_n <1 #

حصوں کی پیداوار میں اب انضمام

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n اوقات (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

اب، کے بعد سے # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # اندر #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

چونکہ #lim_ (n to oo) i_n # موجود ہے، ہمارے پاس ہے

#lim_ (n to oo) J_n = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) times lim_ (n to oo) I_ (ن + 2) = 0 #

لہذا

# lim_ (n to oo) I_n = 1/2 #