ثابت: 3cos ^ -1x = کاؤن ^ ^ (4x ^ 3-3x)؟

ثابت کرنا # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

چلو # cos ^ -1x = theta #

# => ایکس = کوسٹھٹا #

ابھی # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = کاؤن ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

دکھائیں

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

کبھی کبھار ٹرگر ریاضی کرنے کے بارے میں کم ہے اور ریاضی کو تسلیم کرنے کے بارے میں زیادہ ہے جب ہم اسے دیکھتے ہیں. یہاں ہم تسلیم کرتے ہیں # 4x ^ 3 -3x # جیسا کہ کاسمین ٹرپل زاویہ فارمولا، # cos (3 theta) # کب # x = cos theta #.

Factoid: # 4x ^ 3-3x # بھی کہا جاتا ہے # T_3 (x) #، پہلی قسم کی تیسری Chebyshev Polynomial. عام طور پر، # cos (nx) = T_n (cos x). #

ہم فرض کریں گے # آرکوس # پرنسپل قیمت سے مراد ہے. میں پرنسپل کو ترجیح دیتے ہیں #text {آرک} متن {cos} # لیکن یہ ٹائپ کرنا مشکل ہے.

کافی پس منظر. ایک بار جب ہم ٹرپل زاویہ فارمولا کو تسلیم کرتے ہیں تو ثبوت آسان ہے.

ثبوت:

چلو #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# کاؤنٹر 3 تھیٹا = 4 کاؤنٹر ^ 3 تھیٹا - 3 کاس تھٹا #

# کاؤن 3 (آرکاس ایکس) = 4x ^ 3 - 3 ایکس #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #