سوال # 27 939

جواب:

جیسا کہ سڈوپ سنہا نے اشارہ کیا ہے # -1 + sqrt3i # صفر نہیں ہے. (میں نے اس کی جانچ پڑتال کی نظر انداز کی.) دوسرے ظہور ہیں # 1-sqrt3 میں # اور #1#.

وضاحت:

چونکہ تمام گلیوں میں حقیقی تعداد ہیں، کسی بھی غیر معمولی زہر کو منحصر جوڑوں میں ہونا ضروری ہے.

لہذا، # 1-sqrt3 میں # ایک صفر ہے.

اگر # c # پھر صفر ہے # ز-سی # ایک عنصر ہے، لہذا ہم ضائع کر سکتے ہیں

# (ز - (1 + sqrt3 میں)) (ز - (1-sqrt3 میں)) # حاصل کرنا # ز ^ 2-2ز + 4 #

اور پھر تقسیم کریں # پی (ز) # اس چوک سے.

لیکن ممکنہ عقلی صفر پر غور کرنا تیز ہے # پی # پہلا. یا اس کو دیکھنے کے لئے کوکافٹیاں شامل کریں #1# صفر بھی ہے.

جواب:

#1# اور # 1 - sqrt3 میں #

وضاحت:

آپ کے سوال میں ایک غلطی ہے. جڑ ہونا چاہئے # 1 + sqrt3 میں #. آپ اظہار میں قیمت ڈال کر اس کی توثیق کرسکتے ہیں. اگر یہ جڑ ہے تو صفر کو اندازہ کرنا چاہئے.

اظہار تمام اصلی جغرافیائی خصوصیات ہے، لہذا کمپکیکس Conjugate جڑ پروم کی طرف سے (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem)، ہمارے پاس ہے کہ دوسرے پیچیدہ جڑ ہے # 1 - sqrt3 میں #, واضح طور پر، تیسری جڑ (کہو # a #) اصل ہونا پڑتا ہے، کیونکہ یہ ایک پیچیدہ سنجیدہ نہیں ہے؛ دوسری صورت میں وہاں 4 جڑیں ہوں گے، جو تیسری ڈگری مساوات کے لئے ممکن نہیں ہے.

نوٹ

# (ز - (1 - sqrt3 میں)) (ز - (1 + sqrt3 میں)) #

# = ((ز - 1) + sqrt3 میں) ((ز - 1) - sqrt3 میں) #

# = ((ز - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (چونکہ # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

ہم اظہار میں اس عنصر کو حاصل کرنے کی کوشش کریں گے.

ہم لکھ سکتے ہیں:

# پی (ز) = ز ^ 3 - 3 ز ^ 2 + 6z - 4 #

# = ز (ز ^ 2 - 2 ز + 4) - 1 (ز ^ 2 - 2 4 + 4) #

# = (ز - 1) (ز ^ 2 - 2z + 4) #

# = (ز - 1) (ز - (1 - sqrt3 میں)) (ز - (1 + sqrt3 میں)) #

جواب:

ایک تعارف کے طور پر، مجھے لگتا ہے کہ جڑ ہونا چاہئے # رنگ (نیلے رنگ) (1 + sqrt3) # اور نہیں # رنگ (لال) (- 1 + sqrt3) #

اس بنیاد پر میرا جواب ہے:

#z {1، "" 1 + sqrt3، "" 1-sqrt3} #

وضاحت:

کے خیال کا استعمال کرتے ہوئے پیچیدہ conjugates اور کچھ اور ٹھنڈا چالیں.

# پی (ز) # ڈگری کا ایک غلبہ ہے #3#. اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ صرف ہونا چاہئے #3# جڑیں.

پیچیدہ جڑوں کے بارے میں ایک دلچسپ حقیقت یہ ہے کہ وہ کبھی اکیلے نہیں ہوتے ہیں.وہ ہمیشہ اندر آتے ہیں سنجیدہ جوڑے.

تو اگر # 1 + isqrt3 # ایک جڑ ہے، پھر اس کی برکت: # 1-isqrt3 # سب سے زیادہ ضرور ایک جڑ ہے!

اور چونکہ وہاں ایک اور جڑ باقی ہے، ہم اس جڑ کو کال کرسکتے ہیں # z = a #.

یہ ایک پیچیدہ نمبر نہیں ہے کیونکہ پیچیدہ جڑیں ہمیشہ جوڑوں میں ہوتی ہیں.

اور چونکہ یہ آخری ہے #3# جڑیں، پہلے ایک کے بعد کوئی اور جوڑی نہیں ہوسکتی ہے!

آخر میں کے عوامل # پی (ز) # آسانی سے پایا گیا تھا # z- (1 +qq3t3) "،" z- (1 -qqt3) "اور" (z-a) #

این بی: نوٹ کریں کہ جڑ اور ایک عنصر کے درمیان فرق یہ ہے کہ:

ایک جڑ ہو سکتا ہے # ز = 1 + میں #

لیکن متعلقہ عنصر ہو گا # ز- (1 + i) #

دوسری چال یہ ہے کہ، فیکٹری کے ذریعہ # پی (ز) # ہمیں اس طرح کچھ کرنا چاہئے:

# پی (ز) = ز- (1 + اسقرٹ 3) ز- (1 -ققرار 3) (ز-ا) #

اگلا، بہادروں کو توسیع،

# پی (ز) = Z ^ 2-Z (1 + اسقرٹ + 1-اسقرٹ 3) + (1 + اسقرٹ 3) (1-آئقرن 3) (ز-ا) #

# = Z ^ 2-Z (2) + (1 + 3) (ز-ا) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-A-2) + Z (2a + 4) -4a #

اس کے بعد، ہم اس کو اصل پالیسی کے برابر سمجھتے ہیں # پی (ز) = ز ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + Z ^ 2 (-a + 2) + Z (-2a + 4) -4a = Z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

چونکہ دو پالینیوم ایک جیسی ہیں، ہم اس کی گہرائیوں سے مطابقت رکھتے ہیں # ز ^ 3 #, # ز ^ 2 #, # ز ^ 1 #اور # ز ^ 0 #(مسلسل اصطلاح) کسی بھی طرف،

دراصل ہم صرف ایک مساوات لینے اور اسے حل کرنے کی ضرورت ہے # a #

مسلسل شرائط کو مساوات،

# => - 4a = -4 #

# => ایک = 1 #

لہذا آخری جڑ ہے # رنگ (نیلے رنگ) (ز = 1) #