دکھائیں کہ 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1)، n> 1 کے لئے؟

جواب:

ذیل میں

وضاحت:

ظاہر کرنے کے لئے کہ عدم مساوات درست ہے، آپ ریاضیاتی انضمام کا استعمال کرتے ہیں

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # کے لئے #n> 1 #

مرحلہ 1: صحیح ثابت کرو # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

چونکہ # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #، پھر #LHS> RHS #. لہذا، یہ سچ ہے # n = 2 #

مرحلہ 2: کے لئے صحیح فرض # n = k # جہاں ک کلو ہے اور #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

مرحلہ 3: کب # n = k + 1 #,

آر ٹی پی: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

یعنی # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

آر ایچ ایس

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # فرض سے (1) سے

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

چونکہ #k> 1 #، پھر # -1 / sqrt (k + 1) <0 # اور تب سے # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #، پھر # 2sqrt2-kqqrt2 <0 # تو # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

مرحلہ 4: ریاضی کے انضمام کے ثبوت کے مطابق، یہ عدم مساوات تمام اشارے کے لئے درست ہے # n # اس سے بڑا #1#

جیسا کہ عدم مساوات غلط ہے.

مثال کے طور پر #n = 3 #:

جواب دیں (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (تقریبا 2.3) منسوخ کریں (> =) کمتر (sqrt2 (3-1)) _ (تقریبا 2.8) #

ایک تضاد.