Z1 + Z2 = Z1 + Z2 اگر اور صرف اگر arg (z1) = arg (z2)، جہاں Z1 اور Z2 پیچیدہ نمبر ہیں. کیسے؟ وضاحت کریں!

جواب:

برائے مہربانی ملاحظہ کریں بحث میں وضاحت.

وضاحت:

چلو،

# | z_j | = r_j؛ r_j gt 0 اور arg (z_j) = theta_j میں (-pi، pi؛ (j = 1،2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j)، j = 1،2. #

واضح طور پر، # (z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2)، #

# = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sheheta_1 + r_2sintheta_2). #

یاد رکھیں کہ، # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sheheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2، #

# = r_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2)، #

# = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2)، #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (ستارہ ^ 1) #.

# "اب اس کو دی گئی ہے،" | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |، #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |، i.e. #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (ستارہ ^ 2). #

سے # (ستارے ^ 1) اور (ستارے ^ 2) # ہم حاصل،

# 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "منسوخ" R_1r_2 GT 0، کاسم (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (Theta_1-theta_2) = 2kpi + -0، ZZZ میں. #

# "لیکن،" theta_1، theta_2 میں (pi، pi، theta_1-theta_2 = 0، یا، #

# theta_1 = theta_2، "giving،" arg (z_1) = arg (z_2)، # جیسا کہ مطلوب!

اس طرح، ہم نے دکھایا ہے،

# | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | آر آر آر (z_1) = آرک (z_2). #

The بات چیت اسی طرح کی لائنوں پر ثابت کیا جا سکتا ہے.

ریاضی کا لطف اٹھائیں.