اجنبی کیا ہے؟ + مثال

جواب:

اگر ویکٹر # v # اور ویکٹر کی جگہ کی لکیری تبدیلی # A # ایسا ہی ہے #A (v) = k * v # (جہاں مسلسل # k # کہا جاتا ہے eigenvalue), # v # ایک کہا جاتا ہے ایگینویریکٹر لکیری تبدیلی کی # A #.

وضاحت:

ایک لکیری تبدیلی کا تصور کریں # A # کے ایک عنصر کی طرف سے تمام ویکٹر کو بڑھانے کے #2# تین جہتی خلا میں. کوئی ویکٹر # v # میں تبدیل کیا جائے گا # 2v #. لہذا، اس تبدیلی کے لئے تمام ویکٹر ہیں eigenvectors کے ساتھ eigenvalue کی #2#.

زاویہ کی طرف سے زاویہ کے گرد ایک تین جہتی خلا کی گردش پر غور کریں # 90 ^ o #. ظاہر ہے، Z-محور کے ساتھ ان کے علاوہ تمام ویکٹر سمت تبدیل ہوجائے گی اور اس وجہ سے، نہیں ہوسکتا eigenvectors. لیکن Z-axis کے ساتھ ان ویکٹر (ان کے ہم آہنگی فارم کے ہیں # 0،0، ز #) ان کی سمت اور لمبائی برقرار رکھے گا، لہذا وہ ہیں eigenvectors کے ساتھ eigenvalue کی #1#.

آخر میں، ایک گردش پر غور کریں # 180 ^ o # Z-axis کے ارد گرد تین جہتی خلا میں. جیسا کہ پہلے، تمام ویکٹر طویل عرصے سے Z-axis تبدیل نہیں کریں گے، تو وہ ہیں eigenvectors کے ساتھ eigenvalue کی #1#.

اس کے علاوہ، XY-plane میں تمام ویکٹر (ان کے نواحقین کو فارم کی شکل میں شامل ہیں # x، y، 0 #) لمبائی کو برقرار رکھنے کے دوران، مخالف کے لئے سمت تبدیل کرے گا. لہذا، وہ بھی ہیں eigenvectors کے ساتھ eigenvalues کی #-1#.

ویکٹر کی جگہ کے کسی بھی لکیری تبدیلی کو میٹرکس کی طرف سے ویکٹر کے ضرب کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے. مثال کے طور پر، ھیںچو کی پہلی مثال میٹرکس کی ضرب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

اس طرح کے میٹرکس، کسی بھی ویکٹر کی طرف سے ضرب # v = {x، y، z} # پیدا کرے گا # A * v = {2x، 2y، 2z} #

یہ واضح طور پر برابر ہے # 2 * v #. لہذا، ہمارے پاس ہے

# A * v = 2 * v #, جو کسی بھی ویکٹر کو ثابت کرتا ہے # v # ایک ایگینویریکٹر ایک کے ساتھ eigenvalue #2#.

دوسرا مثال (گردش # 90 ^ o # Z-axis کے ارد گرد) ایک میٹرکس کی طرف سے ضرب کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

اس طرح کے میٹرکس، کسی بھی ویکٹر کی طرف سے ضرب # v = {x، y، z} # پیدا کرے گا # A * v = {- y، x، z} #, جو اصل ویکٹر کے طور پر ایک ہی سمت رکھ سکتا ہے # v = {x، y، z} # صرف اس صورت میں # x = y = 0 #، یہ ہے کہ اصل ویکٹر Z-محور کے ساتھ ہدایت کی جاتی ہے.