قدرتی نمبروں میں مندرجہ ذیل مساوات کو حل کریں: x² + y² = 1997 (x-y)؟

جواب:

# (x، y) = (170، 145) # یا # (x، y) = (1817، 145) #

وضاحت:

مندرجہ ذیل ثبوت اس پر مبنی ہے کہ "ڈوففینین مساوات کا ایک تعارف: ایک دشواری پر مبنی نقطہ نظر" کی طرف سے ٹیو اینڈیسکوکو، ڈورین اینڈریکا، آئن کریروسزانو.

دیئے گئے:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

چلو #a = (x + y) # اور #b = (1997-x + y) #

پھر:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

لہذا ہم تلاش کریں:

# {(0 <ایک = x + y <1997)، (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

چونکہ #1997# وزیراعظم ہے، # a # اور # ب # اس سے کہیں زیادہ عام فیکٹر نہیں ہے #1#.

اس لئے وہاں مثبت عامل موجود ہیں #m، n # کے ساتھ #m> n # اور کوئی عام عنصر بڑا نہیں ہے #1# اس طرح کہ:

# {(1997 = ایم ^ 2 + ن ^ 2)، (ایک = 2mn)، (ب = ایم ^ 2-ن ^ 2):} رنگ (سفید) (XX) "یا" رنگ (سفید) (XX) {(1997 = ایم ^ 2 + ن ^ 2)، (a = m ^ 2-n ^ 2)، (b = 2mn):} #

کی طرف دیکھ # 1997 = ایم ^ 2 + ن ^ 2 # موڈ میں #3# اور موڈ #5# ریاضی، ہم تلاش کرتے ہیں:

# 2 - = 1997 = ایم ^ 2 + ن ^ 2 # (موڈ #3#) لہذا #m - = + -1 # اور #n - = + -1 # (موڈ #3#)

# 2 - = 1997 = ایم ^ 2 + ن ^ 2 # (موڈ #5#) لہذا #m - = + -1 # اور #n - = + -1 # (موڈ #5#)

اس کا مطلب یہ ہے کہ صرف امکانات #m، n # ماڈیول #15# ہیں #1, 4, 11, 14#.

اس کے علاوہ نوٹ کریں کہ:

# میٹر ^ 2 (1997/22، 1997) #

لہذا:

#m میں (sqrt (1997/2)، sqrt (1997)) (31.6، 44.7) #

اس کے لئے صرف امکانات # م # ہیں #34, 41, 44#

ہم تلاش کریں:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# کامل مربع نہیں ہے.

#1997 - 44^2 = 61# کامل مربع نہیں ہے.

تو # (م، ن) = (34، 29) #

تو:

# (ایک، بی) = (2mn، ایم ^ 2-ن ^ 2) = (1972، 315) #

یا

# (ایک، بی) = (ایم ^ 2-ن ^ 2، 2 ملین) = (315، 1972) #

# رنگ (سفید) () #

اگر # (ایک، بی) = (1972، 315) # پھر:

# {(x + y = 1972)، (1997-x + y = 315):} #

اور اس وجہ سے

# (x، y) = (1817، 145) #

# رنگ (سفید) () #

اگر # (ایک، بی) = (315، 1972) # پھر:

# {(x + y = 315)، (1997-x + y = 1972):} #

اور اس وجہ سے

# (x، y) = (170، 145) #