غیر معتبر انضمام کا اندازہ کریں: sqrt (10x-x ^ 2) dx؟

جواب:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

وضاحت:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

مربع،

#int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" "dx #

متبادل # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" "دو #

متبادل # u = 5sin (v) # اور # دو = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" "dv #

آسان،

#int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" "dv #

بہتر کریں،

#int "" 25cos ^ 2 (v) "" "dv #

مسلسل لے لو،

# 25int "" cos ^ 2 (v) "" "dv #

ڈبل زاویہ فارمولا کو لاگو کریں،

# 25int "" (1 + کاس (2v)) / 2 "" dv #

مسلسل لے لو،

# 25 / 2int "" 1 + کاس (2v) "" "DV #

ضم،

# 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

واپس متبادل # v = arcsin (u / 5) # اور # u = x-5 #

# 2/2 (آرکیسن ((ایکس ایکس 5) / 5) + منسوخ کر دیں (1 / 2sin) (منسوخ (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+" C #

آسان،

# 25/2 (آرکیسن ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

بہتر کریں،

# 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #، کہاں # c # انضمام کی مسلسل ہے.

تادا: ڈی

جواب:

# = 1/2 ((((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

وضاحت:

کیا #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

یاد رکھیں کہ تقریب کا ڈومین انٹیگریٹڈ ہے جہاں اندرونی چوک مثبت ہے، مثلا #x میں 0، 10 #

یہ اظہار متبادلات کا استعمال کرتے ہوئے ضم کیا جا سکتا ہے. اگرچہ انضمام کے لئے ایک ممکنہ راستہ خود کو فوری طور پر پیش نہیں کرتا، اگر ہم مربع مقابلہ کرتے ہیں تو پھر ایک ٹگونومیٹریکک متبادل کو لے جایا جا سکتا ہے:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

کون سا، ہم سمجھتے ہیں، کلاسیکی ٹگونومیٹکک متبادل متبادل شکل میں ہے، یعنی ایک مائنس کا مربع ایک قطار کے مربع #ایکس# فنکشن

سب سے پہلے، لکیری سے چھٹکارا حاصل کرنے کے لئے، ہم چلو #u = x-5 #، جو دیتا ہے # du = dx #، لہذا ہم مندرجہ بالا کے طور پر مندرجہ بالا لازمی طور پر دوبارہ لکھ سکتے ہیں:

#int sqrt (25-u ^ 2) دو #

اب دوسرا متبادل کے لۓ #u = 5sintheta #، جس میں لازمی طور پر تبدیل ہوتا ہے:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (ہم مطلق قیمت بریکٹ کو نظر انداز کر سکتے ہیں)

یقینا، # dx # مدد نہیں کر رہا ہے، لہذا ہم حاصل کرنے کے لئے متبادل مساوات کو مختلف کرتے ہیں: #du = 5costheta dtata #، تو لازمی بن جاتا ہے:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

اب ہم انضمام کرنے کے لئے ڈبل زاویہ فارمولہ استعمال کرسکتے ہیں # cos ^ 2 theta # آسان:

#cos (2 تھیٹا) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

تو لازمی بن جاتا ہے:

# 25/2 کوکیز (2theta) + 1 dtata #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (ڈبل زاویہ فارمولا کا استعمال کرتے ہوئے)

ابھی، #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

لہذا، #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

اور، #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 ((((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 ((((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #