اگر ایک ^ 3 + بی ^ 3 = 8 اور ایک ^ 2 + بی ^ 2 = 4 کی قدر (A + b) کیا ہے؟

جواب:

رقم کے لئے دو ممکنہ اقدار ہیں، # a + b = 2 # (کے لئے # a = 2 # اور # ب = 0 #) یا # a + b = -4 # (کے لئے # a = -2 + i sqrt {2}، ## ب = -2 - میں sqrt {2}). #

وضاحت:

واقعی دو نامعلوم ہیں، رقم اور اس کی مصنوعات # a # اور # ب، # تو چلو #x = a + b # اور #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

دو نامعلوموں میں دو مساوات،

# 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

اس کو ایک مضحکہ خیز کیوبک کہا جاتا ہے، اور ان کے پاس چوک فارمولا کی طرح ایک آسان آسان فارم حل ہے. لیکن رابطے کے بجائے، چھوٹی تعداد کی کوشش کرنے کے قابل وقت کے ذریعہ صرف ایک جڑ کا اندازہ لگائیں. ہم دیکھیں # x = 2 # کام کرتا ہے # (ایکس -2) # ایک عنصر ہے.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

ہم اب مزید فکتور کرسکتے ہیں

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

لہذا رقم کے لئے دو ممکنہ اقدار ہیں، # a + b = 2 # اور # a + b = -4. #

پہلا جواب حقیقی حل سے متعلق ہے # a = 2، b = 0 # اور سمت کی طرف سے # a = 0، b = 2 #. دوسرا جواب پیچیدہ conjugates کی رقم کے مطابق ہے. وہ ہیں # A، B = -2 pm میں sqrt {2} #. کیا آپ یہ حل دیکھ سکتے ہیں؟

جواب:

# (a + b) = 2، یا، a + b = -4 #

وضاحت:

# "" ایک ^ 2 + بی ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

ابھی،

# "" ایک ^ 3 + بی ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (ایک + ب) {4 - ((ایک + بی) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((+ + بی) ^ 2) / 2} = 8 #

چلو،

# (a + b) = x #

تو،

# => ایکس (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => ایکس (12-ایکس ^ 2) = 16 #

# => ایکس ^ 3-12x + 16 = 0 #

اس کا مشاہدہ کریں #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (ایکس -2) # ایک عنصر ہے.

ابھی، # x ^ 3-12x + 16 = الع (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (ایکس -2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (ایکس -2) (ایکس + 4) (ایکس -2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 آر آر آر = 2، یا، x = -4 #.

#:. a + b = 2، یا، a + b = -4 #.

گراف یہاں دیا جاتا ہے.

کی قیمت # رنگ (سرخ) ((a + b) = 2، یا، -4. #

امید ہے کہ یہ مدد ملتی ہے …

آپ کا شکریہ …