فا (x، y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 کی الٹرا اور سیڈل پوائنٹس کیا ہیں؟

فا (x، y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 کی الٹرا اور سیڈل پوائنٹس کیا ہیں؟
Anonim

جواب:

# (: "" نقطہ نظر "،" اختتام ")، ((0،0)،" منٹ ")، ((-1، -2)،" سڈل ")، ((-1،2)،" سڈل ")، ((-5 / 3،0)،" زیادہ سے زیادہ "):} #

وضاحت:

کی انتہا کی شناخت کرنے کے اصول # ز = f (x، y) # ہے:

  1. ایک ساتھ ساتھ نازک مساوات کو حل کریں

    # (جزوی ف) / (جزوی X) = (جزوی ف) / (جزوی Y) = 0 # (یعنی # z_x = z_y = 0 #)

  2. اندازہ #f_ (x x)، f_ (yy) اور f_ (xy) (= f_ (yx)) # ان میں سے ہر ایک اہم نکات پر. اس طرح کا اندازہ # ڈیلٹا = f_ (ایکس ایکس) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # ان پوائنٹس میں سے ہر ایک پر
  3. الٹرا کی نوعیت کا تعین؛

    # {: (ڈیلٹا> 0، "کم از کم اگر" f_ (xx) <0)، (، "اور" زیادہ سے زیادہ اگر "f_ (yy)> 0)، (ڈیلٹا <0،" وہاں ایک قدیم نقطہ ہے ")، (ڈیلٹا = 0، "مزید تجزیہ ضروری ہے"):} #

تو ہم نے ہیں:

# f (x، y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

ہمیں پہلے جزوی ڈیوئٹیوٹس کو تلاش کرنے دو

# (جزوی ف) / (جزوی ایکس) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (جزوی ف) / (جزوی Y) = 2xy + 2y #

لہذا ہمارے نازک مساوات ہیں:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

دوسرا مساوات سے ہم نے ہیں:

# 2 (x + 1) = 0 => x = -1، y = 0 #

سبسکرائب # x = -1 # پہلا مساوات میں اور ہم حاصل کرتے ہیں:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

سبسکرائب # y = 0 # پہلا مساوات میں اور ہم حاصل کرتے ہیں:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => ایکس = -5 / 3،0 #

اور ہمارے پاس ہے چار معاہدے کے ساتھ اہم نقطہ نظر؛

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

لہذا، اب ہم دوسری جزوی ڈسیوٹیوٹک کو دیکھنے دو تاکہ ہم اہم نکات کی نوعیت کا تعین کر سکیں.

# (جزوی ^ 2f) / (جزوی X ^ 2) = 12x + 10 #

# (جزوی ^ 2f) / (جزوی Y ^ 2) = 2x + 2 #

# (جزوی ^ 2f) / (جزوی ایکس جزوی Y) = 2y (= جزوی جزوی 2f) / (جزویہ جزوی ایکس)) #

اور ہمیں حساب کرنا ضروری ہے:

# Delta = (جزوی ^ 2f) / (جزوی X ^ 2) (جزوی ^ 2f) / (جزوی Y ^ 2) - ((جزوی طور پر ^ 2f) / (جزوی X جزوی Y)) 2 #

ہر اہم نقطہ نظر میں. دوسرا جزوی مشترک اقدار، # ڈیلٹا #اور نتیجہ یہ ہے کہ:

# (: "نقطہ نظر"، (جزوی ^ 2f) / (جزوی x ^ 2)، (جزوی ^ 2f) / (جزوی Y ^ 2)، (جزوی ^ 2f) / (جزوی ایکس جزوی Y)، ڈیلٹا، "(0،0)، (2،0)، 10،2،0، جی ٹی 0، f_ (xx)> 0 =>" منٹ ")، ((-1، -2)، - 2،0،4، ایل ٹی 0، "سیڈل")، ((-1،2)، - 2،0،4، ایل ٹی 0، "سیڈل")، ((-5 / 3،0)، - 10، -4 / 3،0 ، جی ٹی 0، f_ (xx) <0 => "زیادہ سے زیادہ"):} #

ہم ان اہم نکات کو دیکھ سکتے ہیں اگر ہم ایک 3D پلاٹ دیکھیں گے: