این Integers کی رقم کے لئے فارمولہ جاننا ایک) پہلی ن مربع انٹیگرز کی رقم، سگما_ (k = 1) ^ این ک ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + ن ^ 2؟ ب) پہلی ن مسلسل کیوب انٹیگرس سگما سگما_ (k = 1) ^ این ک ^ 3؟

جواب:

کے لئے #S_k (ن) = sum_ {i = 0} ^ n i ^ k #

# S_1 (ن) = (ن (ن + 1)) / 2 #

# S_2 (ن) = 1/6 ن (1 + ن) (1 + 2 ن) #

# S_3 (ن) = ((ن + 1) ^ 4- (ن + 1) -6S_2 (ن) -4S_1 (ن)) / 4 #

وضاحت:

ہمارے پاس ہے

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 #

#sum_ {i = 0} ^ نی ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ این 1- (ن + 1) ^ 3 #

# 0 = 3sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ n i + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 #

کے لئے حل #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 #

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ n i #

لیکن #sum_ {i = 0} ^ n i = ((n + 1) n) / 2 # تو

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3 - ((n + 1) n) / 2 #

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n) #

اسی طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 3 #

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 4 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 4 - (n + 1) ^ 4 #

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 4 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 4 + 4sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 4sum_ {i = 0 } ^ نی + سم_ {i = 0} ^ ن 1- 1- (ن + 1) ^ 4 #

# 0 = 4sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 4sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n = 1 (n + 1) ^ 4 #

# 0 = 4S_3 (ن) + 6S_2 (ن) + 4S_1 (ن) + (ن + 1) - (ن + 1) ^ 4 #

کے لئے حل # S_3 (ن) #

# S_3 (ن) = ((ن + 1) ^ 4- (ن + 1) -6S_2 (ن) -4S_1 (ن)) / 4 #

یہاں #S_k (ن) = sum_ {i = 0} ^ n i ^ k #