یہ عام طور پر کیس کا ایک ٹرمونومیٹک ثبوت ہے، سوال تفصیل باکس میں ہے؟

جواب:

انڈکشن کی طرف سے ثبوت ذیل میں ہے.

وضاحت:

چلو اس شناخت کو اغوا کرکے ثابت کرتے ہیں.

A. کے لئے # n = 1 # ہمیں اس کی جانچ پڑتال ہے

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

بے شک، شناخت کا استعمال کرتے ہوئے #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #ہم اسے دیکھتے ہیں

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (تھیٹا) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

جس سے اس کے بعد

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

اب تک # n = 1 # ہماری شناخت درست ہے.

B. فرض کریں کہ شناخت درست ہے # n #

تو، ہم یہ سمجھتے ہیں

# 2COS (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = pi _ (j 0، n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(علامت # Pi # مصنوعات کے لئے استعمال کیا جاتا ہے)

C. مندرجہ بالا مفہوم کا استعمال کرتے ہوئے، چلو کی شناخت ثابت کرتے ہیں # n + 1 #

ہمیں یہ ثابت کرنا ہوگا کہ اس تصور سے بی کے بعد

# 2cos (2 ^ (n + 1) تھیٹا) +1) / (2cos (تھیٹا) +1) = پی _ _ (ج 0، ن میں 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(نوٹس ہے کہ ضرب کے انڈیکس کے لئے صحیح حد ہے # n # ابھی).

PROOF

ایک شناخت کا استعمال کرتے ہوئے #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # کے لئے # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) تھیٹا) +1 = 2cos (2 * (2 ^ ن * تھیٹا)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

آغاز اور اختتام اظہار ختم کر دیں # 2cos (theta) +1 #ہو رہی ہے

# 2cos (2 ^ (n + 1) تھیٹا) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

اب ہم ب

# 2cos (2 ^ (n + 1) تھیٹا) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j 0، n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = پائی _ (ج میں 0، ن) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(اب ایک انڈیکس کی رینج کو نوٹس تک بڑھایا جائے گا # n #).

آخری فارمولہ بالکل اسی کے لئے ہے # n + 1 # اصل کے طور پر ہے # n #. یہ انچارج کی طرف سے ثبوت مکمل کرتا ہے کہ ہمارے فارمولا کسی کے لئے درست ہے # n #.

جواب:

ذیل میں تشریح سیکشن میں ثبوت دیکھیں.

وضاحت:

یہ ثابت کرنے کے برابر ہے کہ،

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# 2 "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R R.S.S" #

ریاضی کا لطف اٹھائیں.