X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 میں ایک جڑ x = sqrt (2) + sqrt (3) ہے. دوسری تین جڑیں کیا ہیں اور کیوں؟

جواب:

دوسری تین جڑیں ہیں #x = sqrt (2) -سقر (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # اور #x = -قرآن (2) -سقر (3) #. اس لئے، میں آپ کو کہانی بتاؤں …

وضاحت:

مسٹر منطقی الجربرا کے شہر میں رہتے ہیں.

وہ فارم کے تمام نمبر جانتا ہے # m / n # کہاں # م # اور # n # اندرونیوں اور #n! = 0 #.

وہ بہت سارے پاللیومیل کی طرح خوش ہیں # 3x + 8 = 0 # اور # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #، لیکن بہت سے لوگ ہیں جو اس کی پہیلی.

یہاں تک کہ ایک واضح طور پر سادہ پالینی بھی # x ^ 2-2 = 0 # ناگزیر لگتا ہے.

اس کا امیر پڑوسی، مسٹر ریئل، اس پر رحم کرتا ہے. "آپ کو کیا ضرورت ہے، اس کی مربع جڑ کہا جاتا ہے #2#. یہاں آپ جاتے ہیں. "ان الفاظ کے ساتھ، مسٹر اصلی ہاتھ ایک پراسرار چمکیلی بلیو نمبر پر نامزد # R_2 # مسابقتی مسٹر اس کے بارے میں سب کو بتایا جاتا ہے کہ یہ ہے # R_2 ^ 2 = 2 #.

مسٹر عقلی اپنے مطالعہ میں واپس جاتا ہے اور اس پراسرار کے ساتھ ایک کھیل ہے # R_2 #.

تھوڑی دیر کے بعد وہ محسوس کرتا ہے کہ وہ فارم، ضرب، ضبط اور فارم کی تعداد کو تقسیم کر سکتے ہیں # a + b R_2 # کہاں # a # اور # ب # عقیدہ ہیں اور اسی شکل کی تعداد کے ساتھ ختم ہوتے ہیں. وہ بھی یہ خبر دیتا ہے # x ^ 2-2 = 0 # دوسرا حل ہے، یعنی # -R_2 #.

اب وہ صرف حل نہیں کرسکتا # x ^ 2-2 = 0 #، لیکن # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # اور کئی دوسرے.

بہت سے دیگر پالئیےومائل ابھی تک حل سے نکلتے ہیں. مثال کے طور پر، # x ^ 2-3 = 0 #لیکن مسٹر ان کو ایک چمکیلی سبز نمبر نام دینے کے لئے خوش ہے # R_3 # وہ اس کو حل کرتا ہے.

مسٹر استحکام جلد ہی محسوس کرتا ہے کہ وہ تمام نمبروں کو بیان کرسکتا ہے جو وہ کرسکتا ہے # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #، کہاں # a #, # ب #, # c # اور # d # استدلال ہیں.

ایک روز مسٹر منطقی کو حل کرنے میں کوئی حرج نہیں ہے # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. وہ جانتا ہے کہ # x = R_2 + R_3 # ایک حل ہے

اس سے پہلے کہ وہ زیادہ حل تلاش کریں، اس کے اپنے پڑوسی، مسٹر ریئل. اس کا تحفہ کے لئے مسٹر اصلی شکریہ # R_2 # اور # R_3 #لیکن ان کے بارے میں ایک سوال ہے. "میں نے پوچھا:"، وہ کہتے ہیں، "کیا وہ مثبت یا منفی ہیں؟" مسٹر ریئل نے کہا، "مجھے نہیں لگتا کہ آپ کی پرواہ ہوگی." "جب تک آپ عقلی تحفے کے ساتھ polynomials کو حل کر رہے ہیں، یہ واقعی اہمیت نہیں ہے. آپ کے نئے نمبروں کو شامل کرنے، تقسیم کرنے، ضرب کرنے اور تقسیم کرنے کے لئے جو قواعد موصول ہوتے ہیں ان کے ساتھ بھی کام کرتے ہیں. اصل میں، مجھے لگتا ہے کہ آپ کہا جاتا ہے # R_2 # کیا سب سے زیادہ لوگ کہتے ہیں # -sqrt (2) # اور جس نے آپ کو بلایا # R_3 # کیا سب سے زیادہ لوگ کہتے ہیں #sqrt (3) #'.

لہذا مسٹر عقلی کے لئے فارم کی نئی تعداد # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا # R_2 # اور / یا # R_3 # عقلی کوائف دینے والے کے ساتھ پالینیومیل کو حل کرنے کے نقطہ نظر سے مثبت یا منفی ہیں.