2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 کیا آپ یہ کر سکتے ہیں کہ اس کا عنصر؟

جواب:

# "یہاں کوئی آسان عنصر موجود نہیں ہے. صرف ایک عام طریقہ" #

# "کیوبک مساوات کو حل کرنے کے لئے ہمیں یہاں مدد مل سکتی ہے." #

وضاحت:

# "ہم ویت کے متبادل کی بنیاد پر ایک طریقہ کار درخواست دے سکتے ہیں" #

# "پہلی گہری پیداوار کی طرف سے تقسیم:" #

# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #

# "ذیلی" x = y + p "میں" x ^ 3 + ax "2 + bx + c" yields: "#

# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #

# "اگر ہم" 3p + a = 0 "یا" p = -a / 3 "لیتے ہیں تو، پہلی گونج" # # "صفر ہو جاتا ہے، اور ہم حاصل کرتے ہیں:" #

# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #

# "(" p = -2/3 ") کے ساتھ" #

# "ذیلی" y = qz "میں" y ^ 3 + b y + c = 0 "، پیداوار:" #

# ز ^ 3 + بی ز / ق ^ 2 + سی / q ^ 3 = 0 #

# "اگر ہم" q = sqrt (| b | 3/3 ") لے جاتے ہیں تو، Z کی گنجائش ہو جاتا ہے" #

# "3 یا 3، اور ہم حاصل کرتے ہیں:" #

# "(یہاں" q = 1.61589329 ")" # #

# => ز ^ 3 3 3 ز + 1.87850338 = 0 #

# "متبادل" z = t + 1 / t "، پیداوار:" #

# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #

# "" آپ = T ^ 3 "کو تبدیل کرنا، چوک مساوات پیدا کرتا ہے:" #

# => آپ ^ 2 + 1.87850338 یو + 1 = 0 #

# "چوک مساوات کی جڑ پیچیدہ ہیں" #

# "اس کا مطلب یہ ہے کہ ہمارے پاس ہمارے کیوبک مساوات میں 3 اصلی جڑیں ہیں." #

# "اس چوک مساوات کا جڑ ہے" #

# u = -0.93925169 + 0.34322917 میں #

# "متغیرات کو دوبارہ تبدیل کرنے، پیداوار:" #

#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + میں گناہ (-0.93041329)) #

# = 0.59750263 - 0.80186695 میں #

# => ز = 1.19500526 + میں 0.0. #

# => y = 1.93100097 + i 0.0. #

# => ایکس = 1.26433430 #

# "دوسری جڑیں تقسیم اور حل کرنے کی طرف سے پایا جا سکتا ہے # # "باقی چوک مساوات." #

# "دوسری جڑیں اصلی ہیں: -3.87643981 اور 0.61210551." #

جواب:

# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13 x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #

کہاں:

#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) کاسم (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #

وضاحت:

دیئے گئے:

# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #

نوٹ کریں کہ اگر سوال میں ٹائپو موجود ہے تو اس سے زیادہ آسانی سے عنصر ہوتا ہے.

مثال کے طور پر:

# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-رنگ (سرخ) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #

# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + رنگ (سرخ) (7) = (ایکس -1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #

اگر کیوب صحیح شکل میں درست ہے تو، ہم اس کے ظہور اور عوامل کو مندرجہ ذیل طور پر تلاش کرسکتے ہیں:

#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #

Tschirnhaus تبدیلی

کیوبک آسان کرنے کے کام کو بنانے کے لئے، ہم کوکیک آسان تبدیلی کے طور پر جانا ایک لکیری متبادل کا استعمال کرتے ہوئے کیوبک آسان.

# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #

# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #

# = t ^ 3-282t + 1712 #

کہاں # t = (6x + 4) #

Trigonometric متبادل

چونکہ #f (x) # ہے #3# حقیقی زروس، کارڈانو کا طریقہ اور اسی طرح کے نتیجے میں پیچیدہ نمبروں کے ناقابل اعتماد مکعب کیوب جڑیں شامل ہیں. اس طرح کے حالات میں میری ترجیح اس کے بجائے ایک ٹگونومیٹرک متبادل کا استعمال کرنا ہے.

رکھو

#t = k costa #

کہاں #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #

پھر:

# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #

# رنگ (سفید) (0) = k ^ 3 کاؤنٹر ^ 3 تھیٹا - 282k کاسمیٹا + 1712 #

# رنگ (سفید) (0) = 94 ک (4 کاؤنٹر ^ 3 تھیٹا - 3 کیسا تھیتا) + 1712 #

# رنگ (سفید) (0) = 94k کاک 3 تھیٹا + 1712 #

تو:

#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #

تو:

# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #

تو:

#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2 این پی پی) / 3 #

تو:

#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #

کون سا گائینس #3# کیوبک کی مختلف صفر # t #:

#t_n = k کوسٹ ٹٹا = 2sqrt (94) کاسم (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # کے لئے #n = 0، 1، 2 #

پھر:

#x = 1/6 (t-4) #

تو دیئے گئے کیوبک کے تین ظہور ہیں:

#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) کاسم (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #

تخمینی اقدار کے ساتھ:

# x_0 نمبر 1.2643 #

# x_1 -3.8764 #

# x_2 0.61211 #