کلاس روم میں 7 بچے ہیں. وہ ریائس کے لئے کس طرح سے کئی طریقے کر سکتے ہیں؟

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

یہ خاص مسئلہ ایک ہے اجازت نامہ. یاد رکھیں، اجازت نامے اور مجموعوں کے درمیان فرق یہ ہے کہ، permutations، حکم معاملات کے ساتھ. یہ خیال کیا گیا ہے کہ سوال سے پوچھا جاتا ہے کہ طالب علموں کو دوبارہ ترتیب کے لۓ کتنا راستہ (مثال کے طور پر مختلف احکامات) کر سکتے ہیں، یہ ایک اجازت نامہ ہے.

اس وقت کے لئے تصور کریں کہ ہم صرف دو عہدوں، پوزیشن 1 اور پوزیشن کو پورا کر رہے تھے. 2. ہمارے طالب علموں کے درمیان فرق کرنے کے لۓ، حکم کے معاملات کے مطابق، ہم ہر ایک کو اے سے جی. ایک وقت میں، ہمارے پاس پہلی پوزیشن کو بھرنے کے لئے سات اختیارات ہیں: A، B، C، D، E، F، and G. تاہم، ایک بار جب پوزیشن بھرا ہوا ہے، ہمارے پاس صرف چھ کے اختیارات ہیں، کیونکہ اس میں سے ایک طالب علم پہلے ہی پوزیشن میں ہیں.

مثال کے طور پر، فرض کریں کہ A ایک پوزیشن میں ہے 1. اس کے بعد ہماری دو پوزیشنوں کے لئے ہمارے ممکنہ حکم AB (یعنی 1 پوزیشن میں 1 اور پوزیشن 2 میں)، AC، AD، AE، AF، AG. تاہم … یہ یہاں ممکنہ احکامات کا حساب نہیں رکھتا ہے، کیونکہ پہلی پوزیشن کے لئے 7 اختیارات ہیں. اس طرح، اگر بی پوزیشن میں تھے تو، ہمارے پاس بی اے، بی سی، بی ڈی، بی بی، بی ایف اور بی جی کے امکانات ہوں گے. اس طرح ہم ایک دوسرے کے ساتھ اختیارات کے ہماری تعداد ضرب کرتے ہیں: #7*6 = 42#

ابتدائی دشواری پر واپس دیکھتے ہیں، وہاں 7 طالب علم ہیں جو پوزیشن میں رکھی جا سکتی ہیں (پھر، یہ فرض کرتے ہیں کہ ہم 1 سے 7 پوزیشن کو ترتیب دیں). ایک بار پوزیشن کو بھرنے کے بعد، 6 طالب علموں کو پوزیشن میں رکھا جا سکتا ہے. پوزیشنوں میں 1 اور 2 سے بھرا ہوا، 5 پوزیشن 3، اور کیٹررا میں رکھا جاسکتا ہے جب تک کہ صرف ایک طالب علم کو آخری پوزیشن میں رکھا جائے. اس طرح، ایک دوسرے کے ساتھ اختیارات کی تعداد میں اضافہ، ہم حاصل کرتے ہیں #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

کی اجازتوں کی تعداد تلاش کرنے کے لئے ایک عام فارمولا کے لئے # n # اشیاء لیا # r # ایک وقت میں، بغیر متبادل (یعنی 1، طالب علم 1 پوزیشن میں طالب علم انتظار کر کے علاقے میں واپس نہیں آتی اور پوزیشن کے لئے ایک اختیار بن جاتا ہے 2)، ہم فارمولہ استعمال کرتے ہیں:

اجازت ناموں کی تعداد = # "n!" / "(n-r)!" #.

کے ساتھ # n # اشیاء کی تعداد، # r # پوزیشنوں کی تعداد بھرا ہوا، اور #!# کے لئے علامت حقیقت پسندی، ایک آپریشن جو غیر منفی منفی کام کرتا ہے # a # اس طرح کہ #a! # = # ٹائمز (A-1) اوقات (A-2) اوقات (A-3) اوقات … اوقات (1) #

اس طرح، اصل مسئلہ کے ساتھ ہمارے فارمولہ کا استعمال کرتے ہوئے، جہاں ہم 7 طالب علموں نے ایک وقت میں 7 لے لیا (مثلا ہم 7 پوزیشنوں کو بھرنے کا ارادہ رکھتے ہیں)

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

شاید یہ انسداد بدیہی لگتا ہے #0! = 1#؛ تاہم، یہ واقعی واقع ہے.