چھ چھ رخا کا جوڑا جوڑی آٹھ بار پھینک دیا جاتا ہے. امکانات کو تلاش کریں کہ 7 سے زائد کا اسکور پانچ گنا سے زیادہ نہیں ہوتا ہے.

جواب:

#~=0.9391#

وضاحت:

ہم اس سوال سے پہلے کہ ہم اس کو حل کرنے کے طریقہ کار کے بارے میں بات کریں.

آتے ہیں، مثال کے طور پر، کہ میں ایک منصفانہ سکین کو تین دفعہ اتارنے سے ممکنہ نتائج کے لۓ حساب دینا چاہتا ہوں. میں ایچ ایچ ایچ، ٹی ٹی ٹی، TTH، اور ایچ ایچ ٹی حاصل کرسکتا ہوں.

ایچ کا امکان ہے #1/2# اور ٹی کے لئے امکان بھی ہے #1/2#.

ایچ ایچ ایچ اور ٹی ٹی ٹی کے لئے، یہ ہے # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # ہر

TTH اور ایچ ایچ ٹی کے لئے، یہ بھی ہے # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # ہر ایک، لیکن چونکہ میں ہر نتائج حاصل کر سکتا ہوں 3 طریقوں ہیں، یہ ختم ہوجاتا ہے # 3xx1 / 8 = 3/8 # ہر

جب میں ان نتائج کو پورا کرتا ہوں، تو میں حاصل کرتا ہوں #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - جس کا مطلب ہے کہ اب میں سکین فلپ کے تمام ممتاز نتائج کے لئے حساب میں ہوں.

یاد رکھیں کہ اگر میں نے مقرر کیا # H # بننا # p # اور اس وجہ سے # T # ہو # ~ p #، اور یہ بھی محسوس ہوتا ہے کہ ہم پاساسل کے مثلث سے ایک لائن ہے #(1,3,3,1)#، ہم نے ایک قسم قائم کیا ہے:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n، k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

اور اس طرح اس مثال میں، ہم حاصل کرتے ہیں:

# = C_ (3،0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3،1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3،2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3،3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

اب ہم مسئلہ کر سکتے ہیں.

ہم نے رول کی تعداد 8 کے طور پر دیئے گئے ہیں، لہذا # n = 8 #.

# p # رقم 7 سے زائد ہے. 7 سے زائد سے زیادہ رقم حاصل کرنے کی امکانات تلاش کرنے کے لئے، ممکنہ رول پر نظر آتے ہیں:

# ((رنگ (سفید) (0)، الل، ال 2، ال 3، ال 4، ال 5، ال 6)، (1 | 2،3،4،5،6،7)، (2 | 3،4،5 ، 6،7،8)، (3 |، 4،5،6،7،8 9)، (4 | 5،6،7،8،9 10)، (5 | 6،7، 8،9،10،11)، (6 |، 7،8 9،10،11،12)) #

36 امکانات میں سے 15، 15 رولز 36 سے زائد زیادہ دیتے ہیں، جس کا امکان ہے #15/36=5/12#.

کے ساتھ # پی = 5/12، ~ پی = 7/12 #

ہم مکمل طور پر امکانات کو لکھ سکتے ہیں - تمام 8 رولز 7 سے زائد رقم حاصل کرنے کے لۓ تمام 8 رولیں 7 یا اس سے کم ہیں.

# = C_ (8،0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8،1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8.2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8.3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8.4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8،5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8.6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8.7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8،8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

لیکن ہم صرف ان شرائط کو کم کرنے میں دلچسپی رکھتے ہیں جو 7 سے زائد زیادہ مقدار میں 5 گنا یا کم ہو رہی ہے.

# = C_ (8.3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8،4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8،5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8.6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8.7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8.8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

جواب:

#0.93906#

وضاحت:

# "تو پی نتیجہ} 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "یہ 8 دفعہ پر k اوقات ہوتا ہے" = C (8، k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(بینومیل تقسیم)" #

# "کے ساتھ" C (n، k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(مجموعوں)" #

# "تو،" #

#P "یہ پھینک جاتا ہے 8 بار پر زیادہ سے زیادہ 5 بار" #

# = 1 - پی "یہ 6، 7، یا 8 بار پر 8 بار ہوتا ہے" #

# = 1-C (8.6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-سی (8،7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#