Y = f (x) دیا جاتا ہے.گراف، y = f (3x) -2 اور y = -f (x-1)؟

جواب:

گراف کا کاغذ آسان نہیں ہے - لہذا مجھے امید ہے کہ وضاحت میں مدد ملتی ہے!

وضاحت:

کے لئے # y = f (3x) -2 # پہلا دباؤ ساتھ ساتھ دیا گراف #ایکس# 3 کے عنصر سے محور (اس لئے کہ بائیں ہاتھ کم سے کم، یہ کہتے ہیں کہ، اس پر ہوتا ہے # x = -2 / 3 #)، اور پھر پورے گراف کو دھکا دیں نیچے 2 یونٹس کی طرف سے. اس طرح نیا گراف کم از کم ہوگا #x = -2 / 3 # کی قدر کے ساتھ # y = -2 #زیادہ سے زیادہ #(0,0)# اور ایک اور کم از کم #(4/3, -4)#

کے لئے # y = -f (x-1) # سب سے پہلے گراف 1 یونٹ کو منتقل دائیں اس کے بعد اسے نیچے پھینک دو! لہذا، نیا گراف دو گا زیادہ سے زیادہ پر #(-1,0)# اور #(5,2)# اور کم از کم #(1,-2) #

جواب:

یہاں ایک تفصیلی وضاحت ہے

وضاحت:

مسائل ایک عام مسئلہ کے خصوصی کیس ہیں:

گراف کو دیا گیا ہے # y = f (x) #، گراف کیا ہے #y = a f (b x + c) + d # ?

(پہلے ایک کے لئے ہے # ایک = 1، بی = 3، سی = 0، ڈی = -2 #، جبکہ دوسرا ایک کے لئے ہے # a = -1، b = 1، c = -1، d = 0 #)

میں ایک وقت میں ایک مسئلہ کو حل کرنے سے، اقدامات میں جواب کی وضاحت کرنے کی کوشش کروں گا. یہ ایک بہت طویل جواب ہوگا - لیکن امید ہے کہ عام اصول اس کے اختتام تک واضح ہو جائے گا.

مثال کے طور پر میں ایک خاص وکر کا استعمال کروں گا جو میں نیچے دکھا رہا ہوں، لیکن یہ خیال عام طور پر کام کرے گا.

(اگر کوئی شخص دلچسپی رکھتا ہے، تو اس کی فنکشن یہاں ہے #f (x) = Exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) کے لئے گراف کو دیا # y = f (x) #، گراف کیا ہے #y = f (x) + d # ?

یہ ایک آسان ہے - آپ کو یہ کرنا ضروری ہے کہ اگر یہ ایرر برقرار رہے تو ہمارے ہیلپ ڈیسک سے رابطہ کریں # (x، y) # پھر پہلے گراف پر ایک نقطہ ہے # (x، y + d) # دوسرا نمبر ہے. اس کا مطلب یہ ہے کہ پہلے فاصلے سے دوسرا گراف زیادہ سے زیادہ ہے # d # (بالکل اگر # d # منفی ہے، یہ پہلے گراف سے کم ہے # | d | #).

تو، گراف # y = f (x) + 1 # ہو جائے گا

جیسا کہ آپ دیکھ سکتے ہیں، گراف کے لئے #y = f (x) + 1 # (ٹھوس جامنی رنگ کی لائن) کو صرف گراف کے لئے دھکا دیتا ہے # y = f (x) # (سرمئی دھڑکا ہوا لائن) اپ ایک یونٹ کی طرف سے.

گراف کے لئے # y = f (x) -1 # اصل گراف کو آگے بڑھا کر مل سکتا ہے نیچے ایک یونٹ کی طرف سے:

2) گراف کو دیا گیا ہے # y = f (x) #، گراف کیا ہے #y = f (x + c) # ?

اگر یہ ایرر برقرار رہے تو ہمارے ہیلپ ڈیسک سے رابطہ کریں # (x، y) # ایک نقطہ ہے # y = f (x) # گراف، پھر # (x-c، y) # ایک نقطہ نظر ہو گا #y = f (x + c) # گراف. اس کا مطلب ہے کہ آپ گراف حاصل کرسکتے ہیں #y = f (x + c) # گراف کی طرف سے #y = f (x) # صرف اس کو منتقل کرکے بائیں کی طرف سے # c # (بالکل اگر # c # منفی ہے، آپ کو اصل گراف میں منتقل کرنا ہوگا # | c | # دائیں طرف.

مثال کے طور پر، گراف کے لئے # y = f (x + 1) # اصل گراف کو بڑھانے کے ذریعے مل سکتا ہے بائیں ایک یونٹ کی طرف سے:

جبکہ اس کے لئے # y = f (x-1) # اصل گراف کو بڑھانے میں شامل ہے دائیں ایک یونٹ کی طرف سے:

3) گراف کو دیا گیا ہے # y = f (x) #، گراف کیا ہے #y = f (bx) # ?

چونکہ #f (x) = f (b times x / b) # اس کی پیروی کرتا ہے # (x، y) # ایک نقطہ ہے #y = f (x) # گراف، پھر # (x / b، y) # ایک نقطہ ہے # y = f (bx) # گراف.

اس کا مطلب ہے کہ اصل گراف ہونا ضروری ہے نچوڑ ایک عنصر کی طرف سے # ب # ساتھ ساتھ #ایکس# محور بالکل، نچوڑ # ب # واقعی ایک ہے ھیںچو کی طرف سے # 1 / b # اس معاملے کے لئے جہاں # 0 <b <1 #

گراف کے لئے # y = f (2x) # ہے

نوٹ کریں کہ جب اونچائی 1 پر رہتی ہے، چوڑائی ایک عنصر کی طرف سے چھڑکتی ہے. خاص طور پر، اصل وکر کی چوٹی سے منتقل ہوگئی ہے. # x = 1 # کرنے کے لئے # x = 1/2 #.

دوسری طرف، گراف کے لئے # y = f (x / 2) # ہے

یاد رکھیں کہ یہ گراف وسیع طور پر دو گنا ہے (اس کی طرف سے نچوڑ #1/2# 2 کے ایک عنصر کی طرف سے اسی طرح کی جا رہی ہے)، اور چوٹی سے بھی چلے گئے ہیں # x = 1 # کرنے کے لئے # x = 2 #.

اس کیس سے ایک خاص ذکر ہونا ضروری ہے # ب # منفی ہے شاید یہ بہتر ہے کہ اس کے بعد دو قدم قدم کے طور پر اس کے بارے میں سوچیں

• سب سے پہلے کے گراف کو تلاش کریں # y = f (-x) #، اور پھر
• نتیجے میں گراف کو نچوڑنا # | b | #

یاد رکھیں کہ ہر موقع کے لئے # (x، y) # اصل گراف کا، نقطہ # (- x، y) # گراف پر ایک نقطہ ہے # y = f (-x) # لہذا نئے گراف کو اس کے بارے میں پرانے ایک کی عکاسی کی طرف سے پایا جا سکتا ہے # Y # محور

دو مرحلے کے عمل کی ایک مثال کے طور پر، گراف پر غور کریں # y = f (-2x) # نیچے دکھایا گیا:

یہاں اصل وکر، جس کے لئے # y = f (x) # سب سے پہلے کے بارے میں فلپ کیا گیا ہے # Y # محور کے لئے وکر حاصل کرنے کے لئے محور # y = f (-x) # (پتلی سیان لائن). اس کے بعد ایک عنصر کی طرف سے نچوڑا جاتا ہے #2# وکر حاصل کرنے کے لئے # y = f (-2x) # موٹی جامنی رنگ کی وکر.

4) کے لئے گراف کو دیا # y = f (x) #، گراف کیا ہے #y = af (x) # ?

پیٹرن اسی طرح ہے - اگر # (x، y) # پھر اصل وکر پر ایک نقطہ نظر ہے # (x، ay) # گراف پر ایک نقطہ ہے # y = af (x) #

اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک مثبت # a #، گراف ایک عنصر کی طرف سے بڑھ جاتا ہے # a # ساتھ ساتھ # Y # محور پھر، ایک قدر # a # 0 اور 1 کے درمیان اس کا مطلب یہ ہے کہ بڑھتی ہوئی بجائے، اصل میں وکر کو ایک عنصر کی طرف سے نچوڑ دیا جائے گا # 1 / a # ساتھ ساتھ # Y # محور

نیچے وکر کے لئے ہے # y = 2f (x) #

یاد رکھیں کہ جب چوٹی اسی قدر ہے #ایکس# - اس کی اونچائی 2 سے دوگنا ہوگئی ہے. یقینا یہ صرف چوٹی نہیں ہے جو کہ بڑھ گئی ہے # y # نیا وکر حاصل کرنے کے لئے اصل وکر کے ہر نقطہ کی سمت کو دوگنا دیا گیا ہے.

مندرجہ ذیل اعداد و شمار نچوڑ کرتا ہے کہ جب ہوتا ہے کی وضاحت کرتا ہے #0<>

ایک بار پھر، کیس #a <0 # خصوصی دیکھ بھال لیتا ہے - اور اگر آپ یہ دو قدموں میں کرتے ہیں تو بہتر ہوتا ہے

1. سب سے پہلے کے بارے میں وکر اوپر نیچے پلٹائیں #ایکس# محور کے لئے وکر حاصل کرنے کے لئے محور # y = -f (x) #
2. وکر کو کھینچو # | a | # ساتھ ساتھ # Y # محور

وکر کے لئے # y = -f (x) # ہے

حالانکہ تصویر ذیل میں دو قدموں کی وضاحت کرتا ہے جس میں وکر ڈرائنگ میں شامل ہے #y = -2f (x) #

سب ایک ساتھ ڈال

اب ہم انفرادی اقدامات سے گزر چکے ہیں، ہم سب کو ایک ساتھ ڈال دو وکر ڈرائنگ کرنے کے لئے طریقہ کار

# y = a f (bx + c) + d #

اس سے شروع # y = f (x) # بنیادی طور پر درج ذیل مراحل پر مشتمل ہے

1. کی وکر پلاٹ # y = f (x + c) # ایک فاصلے پر گراف کو منتقل کریں # c # بائیں
2. پھر اس کا پلاٹ #y = f (bx + c) #: اس مرحلے کو جس میں آپ مرحلہ نمبر 1 سے حاصل ہو سکیں #ایکس# عنصر کے عنصر سے # | b | #، (پہلے اس کے بارے میں flipping # Y # محور اگر #b <0 #)
3. پھر گراف کا پلاٹ # y = af (bx + c) #: اس مرحلے کو پیمانے پر جو آپ 2 مرحلے سے مل گیا ہے اس کے عنصر کے ذریعہ # a # عمودی سمت میں.
4. آخر میں ایک فاصلے پر آپ کے قدم 3 میں وکر کو دھکا دیں # d # حتمی نتائج حاصل کرنے کے لئے.

ظاہر ہے کہ آپ کو انتہائی چار صورتوں میں صرف چار مرحلے پر لے جانے کی ضرورت ہے - اکثر اقدامات کی ایک چھوٹی سی تعداد میں کریں گے! اس کے علاوہ، اقدامات کا سلسلہ اہم ہے.

اگر آپ سوچ رہے ہو تو، یہ مرحلہ اس حقیقت پر عمل کریں کہ اگر # (x، y) # ایک نقطہ ہے # y = f (x) # گراف، پھر نقطہ

# ({x-c} / b، ay + d) # پر ہے # y = af (bx + c) + d # گراف.

میں اس عمل کی وضاحت کرتا ہوں جو ہمارے فنکشن کے ساتھ ایک مثالی ذریعہ ہے #f (x) #. ہمیں گراف کی تعمیر کرنے کی کوشش کریں #y = -2f (2x + 3) + 1 #

سب سے پہلے - 3 یونٹس کی طرف سے بائیں طرف کی تبدیلی

اس کے بعد: 2 کے ساتھ ایک کے عنصر سے نچوڑ #ایکس# محور

اس کے بعد، اس کے بارے میں گراف flipping #ایکس# محور اور اس کے بعد 2 کے ایک عنصر کے ذریعے سکیننگ # Y #

آخر میں، ایک یونٹ کی طرف سے وکر منتقل - اور ہم کر رہے ہیں!