ہم نے {1،2،3} -> {1،2} اور جی: {1،2،3} -> {1،2،3،4} ہیں .بہت میں انفرادی طور پر f اور جی موجودگی موجود ہیں؟

جواب:

# f # صفت نہیں ہوسکتا.

# g # میں صفت #24# طریقوں

وضاحت:

ایک تقریب انفرادی ہے اگر کوئی دو آدانوں کو ایک ہی پیداوار فراہم نہیں ہوتا ہے. دوسرے الفاظ میں، جیسے کچھ

#f (x) = f (y)، quad x ne y #

نہیں ہو سکتا.

اس کا مطلب یہ ہے کہ، قطعی ڈومین اور کوڈومین کے معاملے میں، اگر ایک اور فعل اگر صرف ڈومین سے زیادہ ہے (یا زیادہ سے زیادہ، برابر) cardinality کے لحاظ سے.

یہ کیوں ہے # f # کبھی بھی صفت نہیں ہوسکتا. دراصل تم ٹھیک کر سکتے ہو #f (1) # جیسے آپ کی مرضی. کہہ دو #f (1) = 1 #، مثال کے طور پر. منتخب کرتے وقت #f (2) #، ہم پھر یہ نہیں کہہ سکتے ہیں #f (2) = 1 #، یا # f # انفرادی نہیں ہوگی. لیکن جب یہ آتا ہے #f (3) # اگر ہم کہتے ہیں تو ہمیں کوئی اختیار نہیں ہے #f (3) = 1 # ہمارے پاس ہے #f (1) = f (3) #، اور اگر ہم کہتے ہیں #f (3) = 2 # ہمارے پاس ہے #f (2) = f (3) #.

دوسرے الفاظ میں، ہم ہر تین ان پٹوں میں سے ایک کو ممکنہ طور پر ایک دو ممکنہ راستہ مانگتے ہیں. یہ واضح ہونا چاہئے کہ آدانوں مختلف نتائج فراہم نہیں کرسکتے ہیں.

دوسری طرف # g # انفرادی طور پر ہوسکتا ہے، کیونکہ وہاں "کافی جگہ" ہے: ہر ایک تین آدانوں کو اس طرح سے چار نتائج میں سے ایک کا انتخاب کرسکتا ہے کہ کوئی مختلف آدانوں کو ایک ہی پیداوار فراہم نہیں کرسکتا.

لیکن کتنے طریقے سے؟ ٹھیک ہے، لگتا ہے کہ ہم دوبارہ شروع کریں گے #f (1) #. ہم اس ان پٹ کے چار میں سے کسی ایک کا انتخاب کرسکتے ہیں، لہذا ہم منتخب کرسکتے ہیں #f (1) # چار طریقوں میں.

جب یہ بات آتی ہے #f (2) #، ہم کچھ آزادی کھو دیتے ہیں: ہم کسی بھی قدر تفویض کرسکتے ہیں #f (2) #، ہم نے تفویض کردہ کسی کے علاوہ #f (1) #، لہذا ہم دو اختیارات کے ساتھ چھوڑ گئے ہیں. مثال کے طور پر، اگر ہم نے مقرر کیا #f (1) = 2 #، پھر #f (2) # یا تو ہو سکتا ہے #1#, #3# یا #4#.

اسی منطق کی طرف سے، ہمارے پاس دو انتخاب ہیں #f (3) #: چار ممکنہ انتخابوں سے، ہم پہلے ہی مقرر کردہ ان لوگوں کو مقرر کرتے ہیں #f (1) # اور #f (3) #.

تو، ہم وضاحت کر سکتے ہیں # g # اندر #4*3*2 = 24# ایسے طریقوں # g # صفت ہے