آپ میک (ایکس) = سنی ہکس کے لئے MacLaurin کے فارمولہ کو کس طرح تلاش کرتے ہیں اور اسے 0.01 (0) کے اندر تخمینہ فی (1/2) تک استعمال کرتے ہیں؟

جواب:

#sinh (1/2) 0.52 #

وضاحت:

ہم تعریف کے بارے میں جانتے ہیں #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

چونکہ ہم Maclaurin سیریز کے لئے جانتے ہیں # e ^ x #، ہم اس کے لئے ایک تعمیر کرنے کے لئے استعمال کر سکتے ہیں #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

ہم سیریز کے لئے تلاش کر سکتے ہیں # e ^ -x # تبدیل کر کے #ایکس# کے ساتھ #-ایکس#:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

ہم ان دونوں کو کم سے کم کر سکتے ہیں # گناہ # تعریف:

# رنگ (سفید) (- ای ^-ایکس)) ای ^ x = رنگ (سفید) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … … #

# رنگ (سفید) (ای ^ ایکس) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = رنگ (سفید) (lllllll) 2xcolor (سفید) (lllllll) + (2x ^ 3) / (3!) رنگ (سفید) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

ہم دیکھ سکتے ہیں کہ تمام شرائط بھی منسوخ کردیئے جاتے ہیں اور تمام عجیب شرائط ڈبل. ہم اس طرز کی نمائندگی کر سکتے ہیں جیسے:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

مکمل کرنے کے لئے #sinh (x) # سلسلہ، ہمیں صرف اس کی طرف سے تقسیم کرنے کی ضرورت ہے #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = گناہ (x) = sum_ (n = 0) ^ منسوخ منسوخ 2 / (منسوخ 2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

اب ہم حساب کرنا چاہتے ہیں #f (1/2) # کم از کم کی درستگی کے ساتھ #0.01#. ہم جانتے ہیں کہ یہ لینجینج غلطی کا یہ عام شکل ہے جس کے بارے میں ایک نتھ ڈگری ٹیلر پولینومیلیل ہے # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (x-c) ^ (n + 1) | # کہاں # M # وقفے پر نیں متوقع طور پر متعدد پابند ہے # c # کرنے کے لئے #ایکس#.

ہمارے معاملے میں، توسیع ایک Maclaurin سیریز ہے، تو # c = 0 # اور # x = 1/2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

اعلی درجے کے ڈیویوٹیکیٹس #sinh (x) # یا تو ہو جائے گا #sinh (x) # یا #cosh (x) #. اگر ہم ان کے لئے تعریفیں سمجھتے ہیں تو ہم یہ دیکھتے ہیں #cosh (x) # ہمیشہ سے بڑا ہو جائے گا #sinh (x) #لہذا ہمیں کام کرنا چاہئے # M #-کے لئے پابند #cosh (x) #

ہائپربولک کاسمین تقریب ہمیشہ بڑھ رہا ہے، لہذا وقفہ پر سب سے بڑی قیمت ہو گی #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (ای ^ (1/2) + ای ^ (- 1/2)) / 2 = (چوک + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

اب ہم یہ لگائے گئے Lagrange غلطی میں پلگ ان:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

ہم چاہتے ہیں # | R_n (x) | # سے چھوٹا ہونا #0.01#تو ہم کچھ کوشش کرتے ہیں # n # اقدار جب تک ہم اس نقطہ تک نہیں پہنچتے ہیں (پالئیےومیلیل میں بہتر الفاظ کی کم مقدار). ہم اسے تلاش کرتے ہیں # n = 3 # یہ پہلا قدر ہے جو ہمیں ایک غلطی سے چھوٹا دے گا #0.01#لہذا ہمیں تیسری ڈگری ٹیلر پالینیوم استعمال کرنا ہوگا.

#sinh (1/2) sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 0.52 #