حل کلو ^ 4 + BX ^ 3 + CX ^ 2 + DX + e = 0؟

جواب:

ایک فوری خاکہ …

وضاحت:

دیئے گئے:

# محور 4 + BX ^ 3 + CX ^ 2 + DX + E = 0 "" # کے ساتھ #a! = 0 #

یہ بہت جلدی گندا ہو جاتا ہے، لہذا میں صرف ایک طریقہ کا خاکہ پیش کروں گا …

کی طرف سے ضرب # 256a ^ 3 # اور متبادل #t = (4ax + b) # فارم کی اداس مہک کوارٹک حاصل کرنے کے لئے:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

نوٹ کریں کہ اس کے بعد سے کوئی اصطلاح نہیں ہے # t ^ 3 #، یہ فارم میں عنصر ہونا ضروری ہے:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-at + B) (t ^ 2 + at + C) #

# رنگ (سفید) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) T + BC #

ہم آہنگی کو مساوات اور تھوڑا سا بحال کرتے ہیں، ہمارے پاس ہے:

# {((B + C = A ^ 2 + p)، (B-C = q / A)، (BC = d):} #

تو ہم تلاش کریں:

# (اے ^ 2 + پی) ^ 2 = (بی + سی) ^ 2 #

# رنگ (سفید) ((A ^ 2 + پی) ^ 2) = (بی سی سی) ^ 2 + 4BC #

# رنگ (سفید) ((اے ^ 2 + پی) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

ضرب کرنا، ضرب # A ^ 2 # اور تھوڑا سا ریورسنگ، یہ بن جاتا ہے:

# (اے ^ 2) ^ 3 + 2 پی (اے ^ 2) ^ 2 + (پی ^ 2-4 ڈی) (اے ^ 2) -قام = 2 = 0 #

یہ "کیوبک # A ^ 2 #"کم سے کم ایک حقیقی جڑ ہے. مثالی طور پر یہ ایک حقیقی اصلی جڑ ہے جس کے لئے دو ممکنہ حقیقی اقدار پیدا ہوتی ہے # A #. اس کے باوجود، کیوبک کی کوئی جڑ کام کرے گا.

قیمت کی قدر # A #، ہم نے ہیں:

# بی = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((بی + سی) - (بی سی سی)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

لہذا ہم دو کواٹریٹکس کو حل کرنے کے لۓ ہیں.