ثابت کرو کہ کتے (A / 2) - 3cot ((3A) / 2) = (4sinA) / (1 + 2cosA)؟

جواب:

برائے مہربانی ملاحظہ کریں وضاحت.

وضاحت:

ہم جانتے ہیں کہ،

# tan3theta = (3tantheta-tan ^ 3theta) / (1-3tan ^ 2theta) #.

#:. cot3theta = 1 / (tan3theta) = (1-3tan ^ 2theta) / (3tantheta-tan ^ 3theta) #

#:. کٹ ((3 اے) / 2) = {1-3tan ^ 2 (A / 2)} / {3tan (A / 2) -tan ^ 3 (A / 2)} #.

لگ رہا ہے #tan (A / 2) = t، # ہمارے پاس ہے،

#cot (A / 2) -3cot ((3A) / 2) #, # = 1 / t-3 {(1-3t ^ 2) / (3t-t ^ 3)} #, # 1 / t- {3 (1-3t ^ 2)} / {t (3-t ^ 2)} #, # = {(3-t ^ 2) -3 (1-3t ^ 2)} / {t (3-t ^ 2)} #, # = (8t ^ منسوخ (2)) / {منسوخ (t) (3-t ^ 2)} #, # = (8t) / {(1 + ٹی ^ 2) +2 (1-t ^ 2)} #

# = {4 * (2t) / (1 + ٹی ^ 2)} / {(1 + ٹی ^ 2) / (1 + ٹی ^ 2) + 2 * (1-ٹ 2 2) / (1 + ٹی ^ 2)} #.

یاد رکھیں کہ، # (2t) / (1 + T ^ 2) = {2tan (A / 2)} / (1 + ٹین ^ 2 (A / 2)) = sinA، اور #

# (1-t ^ 2) / (1 + ٹی ^ 2) = کاسا #.

#rArrcot (A / 2) -3cot ((3A) / 2) = (4sinA) / (1 + 2cosA)، "مطلوبہ طور پر" #

جواب:

نیچے ملاحظہ کریں.

وضاحت:

# LHS = کٹ (x / 2) -3cot ((3x) / 2) #

# = cos (x / 2) / sin (x / 2) -3 * cos ((3x) / 2) / sin ((3x) / 2) #

(= 3x) / 2) * کاسم (x / 2) -3 * کاسم (3x 3x / 2) * گناہ (x / 2)) / (گناہ (x / 2) * گناہ ((3x) / 2) #

# ((2sin ((3x) / 2) * کاسم (x / 2) -3 * 2cos ((3x / 2) * گناہ (x / 2)) / (2sin (x / 2) * sin ((3x) / 2) #

# (گناہ ((3x) / 2 + x / 2) گناہ ((3x) / 2-x / 2) -3 * {گناہ ((3x) / 2 + x / 2) -in ((3x) / 2-x / 2)}) / (کاسم ((3x) / 2-x / 2) -اس ((3x) / 2 + x / 2) #

# = (گناہ ((4x) / 2) + گناہ ((2x) / 2) -3 * {گناہ ((4x) / 2) -ن ((2x) / 2)}) / (کوس ((2x) / 2) -اس ((4x) / 2) #

# = (sin2x + sinx-3sin2x + 3sinx) / (cosx-cos2x) #

# = (4sinx-2sin2x) / (cosx- (cos ^ 2x گناہ ^ 2x)) #

# = (4sinx-4sinx * cosx) / (کاکس-کاس ^ 2x + گناہ ^ 2x) #

# = (4 سکینکس (1-کاکس)) / (کاکس (1-کاکسکس) + (1-کاکس) (1 + کاکس) #

# = (4 سکینکس (1-کاکسکس) / ((1-کاکسکس) (کاکس + 1 + کاکس) #

# = (4 ایسسیکس) / (1 + 2cosx) = RHS #

# LHS = کٹ (A / 2) -3cot ((3A) / 2) #

# = کاسم (A / 2) / گناہ (A / 2) -cos ((3A) / 2) / گناہ ((3 اے) / 2) -2cot ((3A) / 2) #

(= 3A) / 2) * cos (A / 2) -cos ((3A) / 2) * گناہ (A / 2)) / (گناہ (A / 2) * گناہ ((3A) / 2)) - 2cot ((3A) / 2) #

# = گناہ (A) / (گناہ (A / 2) * گناہ ((3 اے) / 2)) -2 کیڑے ((3 اے) / 2) #

# = (2sin (A / 2) cos (A / 2)) / (گناہ (A / 2) * گناہ ((3 اے) / 2)) -2cot ((3A) / 2) #

# = 2cos (A / 2) / گناہ ((3A) / 2) -2 * کاسم ((3 اے) / 2) / گناہ ((3 A) / 2) #

# = 2 (کاسم (A / 2) -cos ((3 اے) / 2)) / گناہ ((3 A) / 2) #

# = 2 (2sin (A / 2) گناہ (A)) / (3sin (A / 2) -4sin ^ 3 (A / 2)) #

# = (4 ایسن (A / 2) گناہ (A)) / (گناہ (A / 2) (3-4sin ^ 2 (A / 2)) #

# = (4sin (A)) / (3-2 (1-cosa)) #

# = (4sin (A)) / (1 + 2cosA) = RHS #