ثابت sqrt (ایک ^ 2 + بی ^ 2) ای ^ (iarctan (b / a)) = a + bi؟

جواب:

وضاحت میں

وضاحت:

ایک عام ہم آہنگی ہوائی جہاز پر، ہم نے (1،2) اور (3،4) اور اس طرح کی چیزیں جیسے ہم آہنگی کی ہے. ہم ریڈیو اور زاویہ کے ان موافقت ن کی شرائط کو دوبارہ کھول سکتے ہیں. لہذا اگر ہمارے پاس نقطہ (اے، بی) کا مطلب ہے کہ ہم یونٹس کو دائیں، بی یونٹس تک اور جا سکتے ہیں #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # اصل اور نقطہ (الف، بی) کے درمیان فاصلے کے طور پر. میں فون کروں گا #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

تو ہمارا ہے # دوبارہ ^ آرکٹان (ب / ا) #

اب اس ثبوت کو ختم کرنے کے لئے چلو ایک فارمولہ کو یاد کرتے ہیں.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

آرک ٹین کی تقریب مجھے ایک زاویہ دیتا ہے جو بھی تھی.

تو ہم مندرجہ ذیل مساوات رکھتے ہیں:

# e ^ میں * آرکٹان (b / a) = cos (آرکٹان (b / a)) + گناہ (آرکٹان (b / a)) #

اب ایک صحیح مثلث کو اپنی طرف متوجہ کرنے کی اجازت دیتا ہے.

آرکٹان (بی / اے) مجھے بتاتا ہے کہ ب کی برعکس ہے اور ایک قریبی طرف ہے. لہذا اگر مجھے آرکٹان (B / A) کا خیال ہے، تو ہم پٹگورینن پرومیم کو ہایپوٹینج کو تلاش کرنے کے لئے استعمال کرتے ہیں. ہایپوٹینج استعمال ہے #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. لہذا (آرکٹان (ب / ا)) = hypotenuse = پر قابو پانے # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

اس کے بارے میں بہترین حصہ یہ حقیقت یہ ہے کہ یہ اصول سنت پر لاگو ہوتا ہے. تو گناہ (آرکٹان (ب / ا)) = hypotenuse = پر مخالف # ب / sqrt (ایک ^ 2 + بی ^ 2) #.

لہذا اب ہم اپنے جواب کو اپنے طور پر دوبارہ بیان کر سکتے ہیں: #r * ((ایک / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (با / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

لیکن یاد رکھیں #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # تو اب ہم ہیں: #r * ((a / r) + (با / ر)) #. R کا منسوخ کر دیا گیا ہے، اور آپ مندرجہ ذیل کے ساتھ رہ گئے ہیں: # a + bi #

لہذا، # (دوبارہ ^ ((آرکٹان (b / a)))) = a + bi #